Las técnicas de papiroflexia
como herramientas didácticas
para la enseñanza de la geometría
en grado 6.° de la IEDIP
Instituto Latinoamericano de Altos Estudios
Las técnicas de papiroflexia
como herramientas
didácticas para la
enseñanza de la geometría
en grado 6.° de la iedip
Las técnicas de papiroflexia
como herramientas
didácticas para la
enseñanza de la geometría
en grado 6.° de la iedip
Gina Bibian Moreno Henao
Instituto Latinoamericano de Altos Estudios -ilae-
Queda prohíbida la reproducción por cualquier medio físico o digital de toda o un aparte de
esta obra sin permiso expreso del Instituto Latinoamericano de Altos Estudios -ILAE-.
Esta publicación se circunscribe dentro de la línea de investigación Sistemas Sociales y Ac-
ciones Sociales del ILAE registrada en Colciencias dentro del proyecto Educación, equidad y
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978-958-8492-68-1
© Gina Bibian Moreno Henao, 2015
© Instituto Latinoamericano de Altos Estudios -ILAE-, 2015
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Editado en Colombia
Edited in Colombia
Contenido
Resumen
9
Introducción
11
Capítulo primero
La perspectiva curricular
17
Capítulo segudo
Marco teórico
25
I.
La noción de espacio
25
II.
Los niveles crecientes de desarrollo mental en geometría
27
III. La papiroflexia, materiales y criterios
31
Capítulo tercero
Diseño, procedimiento y resultados
37
I.
El entorno de investigación
37
A. Entrevista exploratoria a grupo focal
37
B. La evidencia del problema planteado
39
II. El procedimiento de investigación
42
A. Etapa 0: Validación del instrumento test
42
B. Etapa 1: aplicación del pre-test
44
C. Etapa 2: Intervención didáctica
47
1. Taller introductorio
47
2. Taller 1: Polígonos y bidimensionales
52
3. Taller 2: Sólidos y tridimensionales
56
D. Etapa 3: Aplicación del pos-test
62
E. Etapa 4: Intervención didáctica
64
7
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
Capítulo cuarto
Resultados de la investigación
65
Conclusiones
71
I.
Alcances y limitaciones
73
II.
Aportes de la investigación
74
Bibliografía
75
Anexos
77
8
Resumen
La investigación tiene como objetivo general, identificar el apoyo di-
dáctico que brindan las técnicas de papiroflexia a los docentes de grado
sexto, dentro del proceso de enseñanza y aprendizaje para el alcance
de las competencias exigidas en el área matemática de la geometría-
métrica a nivel de las Pruebas Saber, en Colombia.
Como objetivos específicos, se busca determinar los referentes cu-
rriculares, así como los recursos didácticos aportados por las técni-
cas de papiroflexia a involucrar en la estrategia pedagógica para la
enseñanza de la geometría y aplicar experimentalmente las técnicas
didácticas de papiroflexia para la enseñanza del currículo vigente en
el área de Geometría-métrica; y, evaluar la hipótesis de diferencias
significativas en grupos homogéneos como resultado de la aplicación
de técnicas didácticas de papiroflexia.
La hipótesis de investigación afirma que existen diferencias signifi-
cativas en la evaluación de conocimientos en geometría-métrica entre
grupos homogéneos y como resultado de la aplicación de técnicas di-
dácticas de papiroflexia.
El diseño metodológico se basa en un estudio de caso de dos grupos
escolares pertenecientes a la Institución Educativa Distrital Ismael Per-
domo, grado 6.°, en la ciudad de Bogotá, D.C., bajo un enfoque cuantita-
tivo con un diseño metodológico de comparación de grupos control y
experimental, utilizando como instrumento metodológico una prueba
de conocimientos con base en test de preguntas cerradas validado por
expertos dentro de la misma institución, su aplicación posterior a ma-
nera de pre-test, la intervención pedagógica con talleres diseñados con
base en técnicas de papiroflexia en la enseñanza de las premisas curri-
culares de geometría-métrica, la aplicación de un pos-test y evaluación
de la hipótesis de existencia de diferencias significativas entre pre-test
y pos-test, así como entre los grupos experimental y de control.
9
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
El procedimiento de análisis de los datos y/u otra información re-
unida, se realizó mediante proporciones y gráficos de estadística des-
criptiva y la prueba de hipótesis mediando pruebas de estadística ana-
lítica, para confirmación de posibles diferencias significativas entre los
grupos de muestra.
Los resultados muestran que la hipótesis se confirma en términos
absolutos, con diferencias significativas del grupo experimental sobre
el grupo control, mediando la intervención pedagógica con el uso de
actividades didácticas basadas en técnicas de papiroflexia.
10
Introducción
A través del pasar de los años la geometría ha sido desplazada un poco
de los contenidos a estudiar en el ámbito educativo. Es por esto que el
Ministerio de Educación Nacional -men-, en Colombia, dentro de los
nuevos estándares de calidad rescata el estudio de la geometría como
un aspecto importante del currículo en la formación y su aplicación
práctica posterior.
Pero, en la realidad este aspecto de la mejora de la enseñanza de la
geometría no se evidencia, por lo menos prontamente. Resulta usual
que los docentes dediquen todo su año lectivo a enseñar contenidos re-
ferentes a la matemática, siguiendo el programa establecido, dejando
usualmente los temas de la geometría para el final. Al no alcanzarse a
cumplir el programa matemático, los contenidos de la geometría que-
da relegados a un segundo plano. Lo preocupante de la situación es que
en las pruebas Saber a nivel nacional, cuyo propósito es “contribuir al
mejoramiento de la calidad de la educación colombiana mediante la
realización de medidas periódicas del desarrollo de competencias de
los estudiantes de educación básica, como indicador de calidad del sis-
tema educativo”1, se evalúan dichos conocimientos con la expectativa
de que en realidad los estudiantes los manejan, no siendo así en una
gran proporción de los estudiantes.
Para ilustrar parte de este problema, en el cuadernillo de prueba
de Matemáticas se puede observar cómo de 48 preguntas, 21 de ellas
tiene componente geométrico2. Lo cual significaría fácilmente que un
41,67% de la nota evaluatoria depende de una temática que se deja, en
la práctica, para el final del período lectivo y usualmente se cumple mal
1
men. Pruebas Saber, 2012. En línea: [www.mineducacion.gov.co/1621/w3-article-244735.
html].
2
men. icfes Mejor saber, aplicación mayo, matemática 1, grado 5.°, 2009, pp. 27 y 28.
11
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
o regularmente. Esto se repite en la segunda prueba del mismo año
lectivo3. En la prueba del 2002, esta proporción era aún mayor con un
48%, pues 12 de 25 preguntas tenían componente geométrico4.
Otra dificultad que no ha permitido que dicha área del conocimiento
se imparta con la dedicación que se requiere. Mucho más con referen-
cia a su peso específico en las pruebas mencionadas, es que la intensi-
dad horaria para impartir matemáticas ha sido reducida en la medida
que se ha incrementado en otras áreas, o en los énfasis que debe tener
la educación media. El área de matemáticas cuenta actualmente con
un máximo de cuatro horas de sexto a noveno y tres en décimo y once,
tanto en el país como en la Institución Educativa Distrital Ismael Per-
domo, ámbito de la presente investigación.
Otro factor causal del problema planteado radica en que gran par-
te de los docentes no han recibido una educación profesional clara en
geometría y mucho menos en los aspectos que se deben enseñar en
la básica primaria, como tampoco en básica secundaria y media. Por
lo tanto el docente suprime la educación espacial a sus estudiantes,
inhibiendo la posibilidad de desarrollar su creatividad y sus procesos
de sistematización mental. Sumado a esto el Estado asume que los con-
tenidos trazados se cumplen y que su evaluación en las pruebas Saber
dan resultados desalentadores para estudiantes e instituciones educa-
tivas debido a factores desconocidos.
Pocos son los docentes que se han instruido sobre las diversas estra-
tegias didácticas que en la actualidad existen para la enseñanza del com-
ponente espacial de la geometría, como son la papiroflexia, el tangram,
los teselados, el origami, la informática y la tecnología, entre otras técni-
cas y herramientas, que harían su proceso de enseñanza y aprendizaje
mucho más fácil y atractivo tanto para estudiantes como para los mis-
mos docentes. Resulta así indispensable que se reconozca la importan-
cia del componente geométrico en el área matemática con innovaciones
didácticas que permitan del desarrollo de las competencias exigidas en
los subtemas geométrico-métrico dentro del contexto educativo.
El estudio de la geometría aporta al estudiante habilidades como
pensar matemáticamente, argumentar respuestas, representar solu-
ciones, utilización correcta de técnicas e instrumentos matemáticos.
3
men. icfes Mejor saber, aplicación octubre, matemática 2, grado 5.°, 2009, pp. 27 y 28.
4
men. icfes Mejor saber, aplicación matemática grado 5º, 2002, p. 14.
12
Gina Bibian Moreno Henao
Desde comienzo del presente milenio, en Colombia el men concebía
una
propuesta de Renovación Curricular en este proceso enfatizando la geometría
activa como una alternativa para restablecer el estudio de los sistemas
geométricos como herramientas de exploración y representación del espacio.
La crítica en ese momento era dirigida
a la actividad sobre la contemplación pasiva de figuras y símbolos, a las
operaciones sobre las relaciones y elementos de los sistemas y a la importancia
de las transformaciones en la comprensión aun de aquellos conceptos que a
primera vista parecen estáticos5.
El documento curricular mencionado, al tratar el tema de “cuerpos,
superficies y líneas” expresaba que “al pasar las manos por las caras
o superficies de objetos, muebles y paredes se aprecia más que con
cualquier definición la diferencia entre cuerpos y superficies, y entre
superficies planas y curvas. La interrupción del movimiento prepara el
concepto de superficie como frontera de un cuerpo, y el movimiento
de la mano prepara el concepto de plano, el de región y el de área”6, lo
cual describe con claridad una referencia al trabajo físico de contacto
con figuras geométricas que represente el espacio por conocer, medir
y analizar, por parte del estudiante.
Toshio Sawada en 1999 resumió el problema de la declinante aten-
ción al componente geométrico en la enseñanza así:
De acuerdo con los datos internacionales, hay buenas oportunidades en la en-
señanza de la aritmética, álgebra y medidas pero no en geometría, probabi-
lidad y estadística. Además, en álgebra, como más oportunidades da un país
a los estudiantes mejores son los resultados de los estudiantes, pero en geo-
metría parece no haber relación entre oportunidad de aprender y resultados.
Parece que todos los países/sistemas están confundidos sobre los contenidos
y el método de la enseñanza de la geometría7.
5
men. Serie lineamientos curriculares, documento pdf, 1998, p. 37.
6
Ibíd., p. 38.
7
Toshio Sawada, citado por Claudi Elsina. Geometría y realidad, Barcelona, Universidad
Politécnica de Cataluña, p. 2.
13
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
Es así como el problema de investigación se formuló de la siguien-
te manera: ¿Al utilizar el recurso didáctico de la papiroflexia se habrá
de mejorar el rendimiento obtenido por los estudiantes en geometría-
métrica en grado 6.° de educación básica?
De acuerdo con lo expuesto, la presente investigación tiene como
objetivo general, identificar el mejoramiento de resultados que brin-
dan las técnicas didácticas basadas en papiroflexia a los estudiantes
de grado sexto, dentro del proceso de enseñanza y aprendizaje para
el alcance de las competencias exigidas en el área matemática de la
geometría-métrica a nivel de las pruebas nacionales Saber.
Como objetivos específicos, el proceso de investigación busca re-
señar la postura teórica predominante en lo curricular, pedagógico y
didáctico frente a la enseñanza de la geometría en el grado sexto; de-
terminar los recursos didácticos aportados por las técnicas de papiro-
flexia a involucrar en la estrategia pedagógica para la enseñanza de la
geometría en grado 6.°; aplicar la aplicación experimental de técnicas
didácticas de papiroflexia para la enseñanza del currículo vigente en
el área de geometría-métrica; y, evaluar la hipótesis de diferencias sig-
nificativas en grupos homogéneos como resultado de la aplicación de
técnicas didácticas de papiroflexia.
La hipótesis de investigación afirma que existen diferencias signifi-
cativas en la evaluación de conocimientos en geometría-métrica entre
grupos homogéneos y como resultado de la aplicación de técnicas di-
dácticas de papiroflexia. De esta manera, la variable experimental es el
grado de mejora en el rendimiento obtenido por los grupos analizados
con base en la intervención mediando la aplicación de didácticas de
papiroflexia.
Para cumplimiento de los objetivos previstos y validación de la hipó-
tesis planteada, el diseño metodológico para la presente investigación
se basa en un estudio de caso de dos grupos escolares pertenecientes a
la Institución Educativa Distrital Ismael Perdomo, grado 6.°, en la ciu-
dad de Bogotá, D. C., bajo un enfoque cuantitativo con un diseño meto-
dológico de comparación de grupos control y experimental. Para ello
se utilizó como instrumento metodológico una prueba de conocimien-
tos con base en test de preguntas cerradas (anexo 1). El procedimiento
se cumplió en cuatro etapas:
14
Gina Bibian Moreno Henao
Etapa 0: Validación del instrumento diseñado con base en el crite-
rio de cinco (5) expertos docentes pertenecientes a la ieip.
Etapa 1: Aplicación de pre-test de conocimientos en geometría a un
grupo experimental y un grupo control.
Etapa 2: Intervención pedagógica mediante talleres en los cuales se
aplicaron técnicas de papiroflexia en la enseñanza de las premisas
curriculares de geometría-métrica, para que el estudiante alcance
competencias manifiestas en la manipulación, imaginación, poder
de asociación, construcción, identificación de propiedades, relación
de figuras geométricas, generalización y capacidad de abstracción
lográndose por parte del profesor un alto nivel de identidad didác-
tica para la enseñanza de la geometría en este grado de formación
de los estudiantes.
Etapa 3: Aplicación de un pos-test en los dos grupos de muestra
con el fin de identificar los conocimientos alcanzados luego de la
implementación de la etapa de intervención pedagógica.
Etapa 4: Evaluación de la existencia de diferencias significativas en
los resultados pre-test y pos-test entre los grupos experimental y
de control.
El procedimiento de análisis de los datos y/u otra información reuni-
da, se realizó mediante proporciones y gráficos de estadística descrip-
tiva y la prueba de hipótesis mediando pruebas de estadística analítica,
para confirmación de posibles diferencias significativas entre los gru-
pos de muestra.
Los resultados muestran que la hipótesis se confirma en términos
absolutos, con diferencias significativas entre grupos homogéneos de
control y experimental, mediando la intervención pedagógica con el
uso de actividades didácticas basadas en técnicas de papiroflexia.
15
Capítulo primero
La perspectiva curricular
De acuerdo con la Ley General de Educación, en Colombia el currículo
es
el conjunto de criterios, planes de estudios, programas, metodología, y proce-
sos que contribuyen a la formación integral y a la construcción de la identidad
cultural nacional, regional y local, incluyendo también los recursos humanos,
académicos y físicos para poner en práctica las políticas y llevar a cabo el pro-
yecto educativo institucional”8.
En términos amplios esta es la forma y objetivos que el plan de grados
educativos conforma de una manera estructural.
Sin embargo, como bien lo expresa Goyes con referencia a la ense-
ñanza en ciertas áreas de humanidades, a pesar de ello la noción de
currículo no ha sido muy afortunada ni en su valoración ni en su inter-
pretación y debido quizá a la ausencia de espacios de reflexión histó-
rico-curricular, se han creado nociones tergiversadas o superficiales
sobre el término. Una de las más frecuentes es aquella que reduce el
currículo a un plan de estudios, dejando de lado “la filosofía, la meto-
dología, la estructura, los programas, los aspectos administrativos y
operativos, los sujetos y los procedimientos de los centros escolares”9.
En este sentido, la ley general ya mencionada intenta abordar de ma-
nera más holística, aunque muy recientemente, la cuestión curricular.
No obstante, de manera esencial, en la práctica cada país, e incluso,
cada institución educativa en acuerdo a los lineamientos nacionales,
8
Ley 115 de 1994. Por la cual se expide la Ley General de Educación, artículo 76.
9
Isabel Goyes. La enseñanza... en Colombia 1886-1980, San Juan de Pasto, Universidad de
Nariño, 2010, p. 184.
17
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
tienen un enfoque curricular práctico. En este sentido, Lawrence St-
enhouse partía de una idea curricular fundamental que es la aplica-
ción de la investigación en la acción, pues para este pedagogo la teoría
y práctica deben de aparecer unidas de manera que “todo profesor de-
bería actuar como investigador para ser capaz de crear su propio cu-
rrículo”10. Este es el marco general del presente proyecto bajo el cual la
autora pretende, dados los elementos analíticos aportados a través de
entrevista por los sujetos determinantes en la actividad de la Institu-
ción Educativa Ismael Perdomo -ieip-, que son sus docentes y coordi-
nadoras, los criterios valorativos que le permiten a través de un proce-
dimiento de investigación aplicada aportar metodología conducente a
la mejora de los procedimientos escolares de enseñanza y aprendizaje
y en seguimiento de lo que según el mismo Stenhouse expresa respec-
to a que los profesores deben tener un papel activo en la investigación
de la enseñanza, que conduce a elementos y criterios apropiados, pues
la clave del éxito de la educación es la elaboración de un currículo, de
lo que considera un proceso, un conocimiento que tiene una estructura
que incluye procedimientos, conceptos y criterios. De esta manera, ex-
pone su modelo curricular basado en el proceso que supone poner en
relación tres elementos: 1. Respeto a la naturaleza del conocimiento; 2.
Metodología y, 3. Consideración del proceso de aprendizaje11.
Es decir, que el currículo es la herramienta que condiciona el ejerci-
cio de tal experimento en que el profesor se convierte en un investiga-
dor en el aula de su propia experiencia de enseñanza, con un proceso
de investigación y de desarrollo profesoral, bajo una perspectiva que
hace patente la interconexión entre teoría-pensamiento del profesor-
acción. En esta interrelación el profesor debería ser autónomo y libre,
mantener claros propósitos y estar siempre guiado por el conocimien-
to, en una práctica conocida como investigación-acción. Esta investi-
gación es el potencial del educando, la preocupación del mismo, su
colaboración y el perfeccionamiento de su potencial, mientras que la
acción es la actividad realizada en acuerdo con lo teórico para desarro-
llar el potencial del educando.
10 Lawrence Stenhouse. La investigación como base de la enseñanza, 5.a ed., Madrid, Morata,
1987.
11 Lawrence Stenhouse. Investigación y desarrollo del currículum, 4.a ed., Madrid, Morata,
2007, p. 29.
18
Gina Bibian Moreno Henao
Es así como un currículo es una tentativa para comunicar los prin-
cipios y rasgos esenciales de un propósito educativo, de forma tal que
permanezca abierto a una discusión crítica y pueda ser trasladado
efectivamente a la práctica, lo que permite reiterar que un currículo
debe estar basado en la praxis pues “el currículum es un intento de
comunicar los principios esenciales de una propuesta educativa de tal
forma que quede abierto al escrutinio crítico y pueda ser traducida
efectivamente a la práctica”12.
El currículo, ya en su forma práctica de planeamiento tiene las si-
guientes características, según Miguel Ángel Zabalza. Está centrado
en la escuela (financiamiento y sostenimiento), conectado a los recur-
sos del medio ambiente (utilizando todos los recursos de su zona con
influencia social), es consensuado (de colaboración entre los diferen-
tes estamentos: padres, profesores, directivas, etc.), tiene incidencia
directa e indirecta en todo el abanico de la experiencia de los alumnos
(con oportunidades de formación que compatibilizan lo escolar y ex-
traescolar, lo cognitivo y lo afectivo, lo social y lo institucional) y, final-
mente, es clarificador para profesores, padres, alumnos, etc13.
Con esta mira, se llega a un tipo de estructuración que es la forma-
ción curricular por ciclos, basado en la impronta que se concibe como
la intención pedagógica de formación y la identidad del ciclo, la cual
responde a las demandas de aprendizaje de los niños, niñas y jóvenes
y las necesidades educativas de la sociedad, que son los fines últimos
de la educación14. En Colombia, la Secretaría de Educación del Distrito,
-sed-, en la capital, traduce el significado de la impronta como el de
la propuesta de desarrollo del ciclo la cual orienta el ¿para qué ense-
ñar? el ¿qué enseñar? y el ¿cómo enseñar? En el diseño curricular la
impronta de cada ciclo se convierte en los objetivos de aprendizaje y
de enseñanza, basados en la experiencia profesoral que hace de esta el
referente para establecer la pertinencia de los modelos pedagógicos y
la práctica, pues surge a partir de la caracterización que cada plantel
12 Ídem.
13 Miguel Ángel Zabalza. Diseño y desarrollo curricular, Madrid, Narce Ediciones, 2009, pp.
35 y 36.
14 Secretaría de Educación del Distrito. “La estructura de los ciclos”, en Documento perti-
nencia y pertenencia del currículo para la reorganización de la enseñanza por ciclos, Bogotá,
Equipo de Calidad de San Cristóbal, Secretaría de Educación, 2012, p. 9.
19
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
educativo realiza de los niños, niñas y jóvenes, y tiene relación directa
con el horizonte institucional de su proyecto educativo15.
La sed, ha caracterizado los ciclos educativos de acuerdo con la pers-
pectiva de desarrollo humano, “entendido desde la teoría del desarro-
llo a escala humana de Manfred Max-Neef, como elemento que permite
realizar simultáneamente varias necesidades”16. Dicha caracterización
curricular por ciclos se estructura según grados educativos: primero
(grados preescolar, 1.° y 2.°), segundo (3.° y 4.°), tercero (5.°, 6.° y 7.°),
cuarto (8.° y 9.°) quinto (10.° y 11.°), cada uno con su impronta general
y los correspondientes ejes de desarrollo.
El ciclo 1 tiene como su impronta la de “Infancias y construcción de
los sujetos”, el ciclo 2 “Cuerpo, creatividad y cultura”, el ciclo 3 “Interac-
ción social y construcción de mundos posibles”, el ciclo 4 “Proyecto de
Vida” y el ciclo 5 “Proyecto profesional y laboral”. En cuanto a sus ejes
de desarrollo, el ciclo 1 prevé la Estimulación y Exploración; el ciclo 2,
el Descubrimiento y Experiencia; el ciclo 3, la Indagación y Experimen-
tación; el ciclo 4, la Vocación y Exploración profesional; y, finalmente,
el ciclo 5 la Investigación y desarrollo de la cultura para el trabajo17.
Respecto al abordaje contextual del presente trabajo, el menciona-
do esquema curricular define el ciclo tercero, que abarca los grados 5.°,
6.° y 7.°, como conformado típicamente por niños y niñas en edades
entre diez y 12 años, en transición de la niñez a la preadolescencia, un
período de vida caracterizado por fuertes cambios físicos, emocionales
e intelectuales y en el cual los aprendizajes
están orientados por la indagación y experimentación, los procesos que se
desarrollan están anclados en las dinámicas de los niños y las niñas que comienzan
a dominar las relaciones de proporcionalidad y de conversión, sistematizan
operaciones concretas, las cuales se refieren a objetos reales y, además, inician
un camino hacia la fantasía y la construcción de mundos posibles18.
15 Secretaría de Educación del Distrito. Reorganización curricular por ciclos. Referentes
conceptuales y metodológicos. Transformación de la enseñanza y desarrollo de los apren-
dizajes comunes y esenciales de los niños, niñas y jóvenes, para la calidad de la educación,
Bogotá, Secretaría de Educación, 2012, p. 28.
16 Ibíd., p. 29.
17 Ibíd., p. 40
18 Secretaría de Educación del Distrito. Reorganización curricular por ciclos. Referentes
conceptuales y metodológicos. Transformación de la enseñanza y desarrollo de los apren-
dizajes comunes y esenciales de los niños, niñas y jóvenes, para la calidad de la educación,
Bogotá, Secretaría de Educación, 2012, p. 47.
20
Gina Bibian Moreno Henao
En este ciclo, las necesidades y demandas de aprendizaje de los niños y
las niñas en el área cognitiva requieren espacios de aprendizaje donde,
además que “se debata y discuta de forma espontánea sobre filosofía,
ética, economía y política”, se los lleven a cuestionar situaciones pro-
pias de su entorno. El aula de clase debe convertirse en un espacio para
la indagación y la experimentación que les permita inferir y construir
herramientas para explicar el mundo, con el fin de entenderlo y com-
prenderlo. En lo socioafectivo, es necesario que los estudiantes cuenten
con espacios culturales que aumenten y recreen sus conocimientos, así
como para que puedan experimentar actividades nuevas y favorecer el
desarrollo de sus iniciativas19. En el aspecto físico y recreativo20, para el
estudiante el juego cobra importancia al convertirse en una actividad
para el desarrollo de su personalidad que establece y fortalece las re-
laciones con sus pares y mejorar su autoimagen permitiendo, además,
construir normas.
En este contexto curricular ya desde el ciclo 2, el trabajo lúdico en
el aula de clase ha utilizado la manipulación de fichas para formar di-
ferentes figuras desarrollando su creatividad y concentración, así como
también se ha trabajado la matemática unida a la educación física des-
de la lúdica. Concretamente también, con técnicas como las que Carlos
Eduardo Vasco analizaba hace dos décadas. En las cuales el doblado y el
recorte de papel eran apoyos a la función heurística de las figuras de la
geometría euclidiana, aunque con alcances y limitaciones en la búsque-
da de una geometría activa y de las transformaciones21, que conllevara
el estudio de soluciones a problemas de una geometría tridimensional.
En acuerdo con esta búsqueda de innovaciones curriculares, espe-
cíficamente en el área de la geometría a nivel del ciclo 3 ya definido,
cabe recordar el enfoque didáctico de Rafael Porlan, para quien la
investigación escolar es un intento de síntesis que, de toda forma, debe
evitar respuestas simplemente parciales a los aspectos más criticados
de la enseñanza tradicional. Citaba Porlan entre ellos
19 Ibíd., p. 48.
20 Ibíd., p. 49.
21 Carlos Eduardo Vasco. “Geometría activa y geometría de las transformaciones”, Revista
de La Facultad de Ciencia y Tecnología, vol. 2, Bogotá, Universidad Pedagógica Nacional,
1992, pp. 21 a 26.
21
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
al tecnológico, al de su escasa rigurosidad, ofreciendo una racionalidad
supuestamente neutral que tiende a uniformizar la realidad escolar, de por
sí compleja y diversa; reduciendo el papel del profesor al de un técnico-
ejecutor de planes y currículos diseñados por agentes externos a la escuela,
desconocedores, en la mayoría de los casos, de la singularidad de los procesos
de enseñanza-aprendizaje22.
En este punto trataba Porlan de reiterar que el profesor es el media-
dor fundamental entre la teoría y la práctica educativa, como regula-
dor y transformador de toda iniciativa externa, curricular, que preten-
da incidir en la dinámica de las aulas. Esta mediación se realiza a través
de un proceso múltiple. En el plano cognitivo, el profesor interpreta
y valora las informaciones exteriores que recibe, sean éstas modelos
educativos o instrucciones curriculares, desde sus propios esquemas
de conocimiento23, en el cual el docente es un agente activo en el de-
sarrollo curricular, un modelador de los contenidos que se imparten
y de los códigos que estructuran esos contenidos, condicionando con
ello toda la gama de aprendizajes de los alumnos24. Esta dinámica ha
de situarse en la perspectiva de “un proceso de investigación y experi-
mentación de alternativas curriculares diferentes”25.
Graciela Merino26, introducía la problemática educativa en la en-
señanza de las ciencias naturales respecto al cotidiano enfrentamiento
de los docentes con las dificultades propias del complejo proceso de
enseñanza y aprendizaje, como así también con las particularidades de
los alumnos involucrados en el proceso. Entre estos, la falta de interés
en las actividades de las clases de ciencias, tendencia a la memoriza-
ción y repetición de una “ciencia única” o acabada y desvinculada de la
vida cotidiana. Las teorías alternativas, según Merino, lo que propo-
nen es el pseudo protagonismo del alumno, con el cual se limita a repe-
tir una secuencia de pasos establecidos y, simultáneamente, el docen-
te persigue el cumplimiento de objetivos operacionales, proponiendo
problemas de aplicación que los alumnos resuelven.
22 Rafael Porlan, y José Martí. El diario del profesor. Un recurso para la investigación en el
aula, 1992, p. 14.
23 Ibíd., p. 18.
24 Ibíd., p. 19.
25 Ibíd., p. 45.
26 Graciela Merino. Enseñar ciencias naturales en el tercer ciclo de la egb, Buenos Aires, Edit.
Aique, 1998.
22
Gina Bibian Moreno Henao
Entonces, Merino precisa que mediante la metodología de descu-
brimiento, el alumno es protagonista de su propio aprendizaje27. En
este ámbito socializado, diferentes cuestiones ponen a prueba sus teo-
rías y promueven insatisfacción y la búsqueda de nuevas explicacio-
nes, ante lo cual el docente es investigador de su propia práctica, pues
organiza, orienta, favorece los aprendizajes y reflexiona críticamente.
Todo este proceso de investigación y acción que conlleva un apren-
dizaje por descubrimiento conduce a la determinación de desarrollos
curriculares específicos con relación a cada contexto discente y resulte
pedagógicamente en un aprendizaje significativo. David Paul Ausu-
bel partía en la década de los setentas de las propuestas de Jerome
Bruner sobre el aprendizaje por descubrimiento, un enfoque bajo el
cual se buscaba que los niños construyeran su conocimiento a través
del descubrimiento de contenidos. Aunque Ausubel considera que el
aprendizaje por descubrimiento no debe ser presentado como opuesto
al aprendizaje por exposición o recepción, ya que éste puede ser igual
de eficaz, si se cumplen unas características como estrategia de ense-
ñanza, puede lograr un aprendizaje significativo en el cual los nuevos
conocimientos se incorporan en forma sustantiva en la estructura cog-
nitiva del alumno.
Con el aprendizaje significativo se logra que el estudiante relacione
los nuevos conocimientos con los anteriormente adquiridos, pero tam-
bién es necesario que el alumno se interese por aprender lo que se le
está mostrando. Siendo así, se produce una retención más duradera de la
información, que facilita el adquirir nuevos conocimientos relacionados
con los anteriormente adquiridos de forma significativa, siendo guarda-
da en la memoria a largo plazo. El aprendizaje significativo es, de esta
manera, activo y personal, pues depende de la asimilación de las activi-
dades de aprendizaje por parte del alumno aunque, también, la signifi-
cación de aprendizaje depende los recursos cognitivos del estudiante.
En el cuidado de que en un proceso pedagógico se produzca un
aprendizaje significativo se debe tener en cuenta que haya significa-
tividad lógica del material que presenta el maestro al estudiante, or-
ganizado de tal manera que se dé una construcción de conocimientos.
También, que haya una significatividad psicológica del material, en el
cual el alumno conecte el nuevo conocimiento con los previos y que
27 Ídem.
23
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
los comprenda, mediando una actitud favorable del alumno como un
componente de disposiciones emocionales y actitudinales, en donde el
docente sólo influye a través de la motivación28.
Ausubel tipifica el aprendizaje significativo. El aprendizaje de repre-
sentaciones en el cual el niño adquiere el vocabulario que representa
objetos reales con significado para él. El aprendizaje de conceptos, en
el cual el niño o niña a partir de experiencias concretas, o contextos de
aprendizaje por recepción o por descubrimiento, comprende concep-
tos abstractos (como “gobierno”, “país”, “mamífero”). En un aprendiza-
je de proposiciones, los niños conocen el significado de los conceptos,
pueden formar frases que contengan dos o más conceptos integrándo-
los en su estructura cognitiva con los conocimientos previos, a través
de pasos de diferenciación progresiva, respecto a conceptos más inclu-
sores que el alumno ya conocía; o de reconciliación integradora, cuan-
do el concepto nuevo es de mayor grado de inclusión que los conceptos
previos del alumno; o de combinación, cuando el concepto nuevo tiene
la misma jerarquía que los conocidos29.
Esta mirada al aprendizaje significativo por parte de Ausubel tiene
obvias aplicaciones pedagógicas. El docente debe conocer los conoci-
mientos previos del alumno, asegurándose que el contenido a presen-
tar pueda relacionarse con las ideas precedentes, permitiéndole la pla-
neación curricular específica. Debe también, organizar los materiales
en el aula de manera lógica y jerárquica, teniendo en cuenta que no
sólo importa el contenido sino la forma en que los alumnos la recono-
cen, en un proceso en el que la motivación es un factor fundamental de
aprendizaje, acompañada de apoyos didácticos (dibujos, figuras, dia-
gramas, fotografías, objetos) para enseñar los conceptos30.
28 María Alejandra Maldonado Valencia. “El aprendizaje significativo de David Paul Ausu-
bel”, 2008. En línea: [www.monografias.com/trabajos10/dapa/dapa.shtml].
29 Ídem.
30 Ídem.
24
Capítulo segudo
Marco teórico
El capítulo presenta un marco teórico que permite soportar los ele-
mentos metodológicos que se deben tener en cuenta en la enseñanza
de la geometría, con base en la existencia de niveles crecientes de de-
sarrollo mental que validan la inclusión de didácticas basadas en la
aplicación de técnicas de papiroflexia, todo lo cual representa el para-
digma de base en la presente investigación.
I. La noción de espacio
En la propuesta metodológica de enseñanza y aprendizaje de la geome-
tría aplicada a escuelas críticas31, definidas estas como establecimien-
tos de alto riesgo, que tienen bajo rendimiento en las pruebas estan-
darizadas y están insertas en un medio socio económico bajo, lo cual
genera además fenómenos de deserción y repitencia, la autora Lastra
analiza el nivel de impacto que la metodología, el rol del profesor, el rol
del alumno, el uso de la tecnología, tienen en la enseñanza y aprendiza-
je geométrico. Así mismo muestra en un excelente recorrido histórico
que la geometría se estudiaba inicialmente con el fin de desarrollar
la mente humana. Lastra aplica el modelo de los esposos Van Hiele,
consistente en dos aspectos, descriptivo y prescriptivo, específico para
la enseñanza de la geometría. El primer aspecto descriptivo consta de
cinco niveles32:
31 Sonia Lastra. Propuesta metodológica de enseñanza y aprendizaje de la geometría, aplica-
da en escuelas críticas, Santiago, Universidad de Chile, 2005.
32 Ibíd., pp. 23 y 24.
25
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
• Visualización: Considera los conceptos o figuras en su globalidad.
No toma en cuenta los elementos y sus propiedades.
• Análisis: surge el descubrimiento y la generalización de propieda-
des, a partir de la observación de algunos casos.
• Deducción informal: la comprensión y la posibilidad de establecer
relaciones a través de implicaciones simples entre casos.
• Deducción formal: se efectúan las demostraciones formales, usos
de axiomas, postulados, etc.
• Rigor: cuando el razonamiento es deductivo, sin ayuda de la intuición.
El segundo aspecto, que es el prescriptivo, consta de cinco fases de
aprendizaje:
Información: el profesor debe diagnosticar lo que saben los alum-
nos sobre el tema que se va abordar y la forma de razonar que tie-
nen. Los alumnos entran en contacto con el objetivo propuesto.
Orientación dirigida: el profesor debe guiar el proceso para que los
alumnos vayan descubriendo lo que va a constituir el centro de este
nivel. Esta fase es el centro del aprendizaje, que le va a permitir pa-
sar al otro nivel, y construir los elementos propuestos. El profesor
debe planificar las actividades que le permitan establecer las carac-
terísticas de este nivel.
Explicitación: los alumnos deben estar conscientes de las caracte-
rísticas y propiedades aprendidas anteriormente y consolidan su
vocabulario.
Orientación libre: afianzar los aspectos básicos y las actividades
que permitan resolver situaciones nuevas con los conocimientos
adquiridos anteriormente.
Integración: tiene por objetivo establecer y completar las relacio-
nes que profundicen el concepto.
26
Gina Bibian Moreno Henao
Lastra aplicó este modelo al uso didáctico de ayudas computacio-
nales en software, ratificando en sus resultados que el profesos usual-
mente realiza sus prácticas sin intencionalidad33, buscando funda-
mentalmente el logro de contenidos muy conceptuales, descuidando
un tanto el eje temático de forma y espacio, además que “no tienen
buenos recuerdos, pues no les resultaba fácil de comprender” el uso
de herramientas en geometría que equiparen el énfasis puesto en la
aritmética34. Recomienda para la construcción de la noción de espacio
psicológico, las actividades en las cuales los maestros emplean diferen-
tes técnicas como, pegar, recortar, plegar, dibujar, construir materiales
con papeles de colores, tijeras, pegamentos, etc., que permitan a los
niños(as), vivir variadas experiencias que facilitan la adquisición de
los conceptos de formas bi y tridimensionales, establecer relaciones
entre elementos y que puedan estimular la creatividad. Con ello, se
constituyen las primeras experiencias de relaciones espaciales (exte-
rior, interior), o de relaciones topológicas que proporcionan un len-
guaje básico apropiado y el sentido exploratorio de la relatividad de la
ubicación espacial35.
II. Los niveles crecientes de
desarrollo mental en geometría
Los niveles crecientes de desarrollo mental en geometría, fueron iden-
tificados por P. H. Van Hiele y su esposa36, en resultados de sus es-
tudios publicados en 195937. Suárez Sotomonte y Ramírez Vanegas,
reiteran que a pesar de la preocupación de la mayoría de maestros por
cualificarse en enfoques actuales en pedagogía, didáctica, tecnologías
y, de manera particular, en sus áreas de especialización, muchos se ven
abocados a implementar, en parte de su labor docente, estrategias tra-
33 Lastra. Propuesta metodológica de enseñanza y aprendizaje de la geometría, cit., 37.
34 Ibíd., p. 38
35 Ibíd., p. 40.
36 unesco. Estudios en educación matemática. La geometría en las escuelas, vol. 5, Robert
Florris (Ed.), 1986.
37 Hiele, P. M. Van. “La pensée de l’enfant et la géometrie”, Bulletin de z’apmep, n.° 198, Pa-
rís, Association des Professeurs de Mathématiques de l’Enseignement Public, 1959, pp.
199 a 205.
27
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
dicionales basadas en la heteroestructuración, esto es, la transmisión
de conocimientos38. Estos autores opinan que las innovaciones peda-
gógicas no cobran mayor importancia en los docentes, lo cual ha ge-
nerado un énfasis en investigación teórica, en detrimento de la inves-
tigación de la dinámica en el aula, aunque quizá debido a un excesivo
número de estudiantes como usual característica.
Siendo así, los niveles crecientes de desarrollo mental en geometría
según los Van Hiele confirman que el razonamiento geométrico evo-
luciona en los estudiantes desde niveles muy elementales de recono-
cimiento e identificación de las figuras geométricas hasta el desarrollo
de razonamientos deductivos, y que si un docente insiste en preocupar-
se porque sus alumnos solo aprendan a identificar las figuras geomé-
tricas con sus nombres, e incluso definiciones, está condenándolos a
mantenerse en un nivel muy elemental de pensamiento geométrico.
De acuerdo con lo expuesto anteriormente, ello implica una ense-
ñanza de la geometría en la que el docente dista mucho de ser un sim-
ple transmisor de contenidos geométricos. Sin descuidar éstos, de lo
que se trata es de llevar a cabo los diferentes tipos de tareas (como
conceptualizar, investigar, demostrar) en las que se trabaje el desa-
rrollo de las habilidades mencionadas (como visualización, de dibujo,
comunicación, razonamiento lógico y transferencia), considerando los
diferentes niveles de razonamiento geométrico propuestos por los es-
posos Van Hiele (reconocimiento, análisis, clasificación y deducción),
siempre todo ello bajo el enfoque de resolución de problemas39.
López y García, autoras del documento citado, plantean diversas
actividades didácticas. Entre ellas40:
1. Los rompecabezas, que desarrollan las habilidades de visualización
y comunicación al describir las piezas que forman el rompecabezas
en el que tienen que analizar las características de las figuras que
lo componen.
38 Publio Suárez Sotomonte y Alfonso Ramírez Vanegas. “Exploración de sólidos a partir
de sistemas de representación”, Revista Praxis & Saber, Tunja, Universidad Pedagógica y
Tecnológica de Colombia, 2011, pp. 37 y 38.
39 Olga López Escudero y Silvia García Peña. La enseñanza de la geometría, México, Insti-
tuto Nacional para la Evaluación de la Educación, 2008, p. 80.
40 Ibíd., pp. 133 y ss.
28
Gina Bibian Moreno Henao
2.
La copia de figuras, que desarrolla habilidades de visualización, co-
municación y de dibujo al reproducir una figura.
3.
Los pentaminós, que consisten en una figura geométrica compues-
ta por cinco cuadrados unidos por sus lados, de los cuales hay doce
diferentes, que se nombran con diferentes letras del abecedario.
Los pentominós obtenidos a partir de otros por simetría axial o por
rotación no cuentan como un pentominó diferente. Con su elabo-
ración, los estudiantes exploran, en diferentes niveles, ideas tales
como la búsqueda sistemática y las transformaciones.
4.
Los trianpen41, contracción de las palabras triángulo y pentágono,
una figura compuesta de estas dos unidas por uno o más vértices,
mediante los cuales se realizan tareas de conceptualización a partir
de la expresión de las características de un objeto que lo distinguen
de otros.
5.
Exploración de cuadriláteros.
6.
Construyendo y probando42, una actividad de investigación y de-
mostración en las que desarrollarán las habilidades de comunica-
ción, de dibujo y razonamiento al analizar las propiedades de las
figuras que se les pide construir a partir de los datos y de los ins-
trumentos que se les indican.
7.
Geometría y azulejos, actividades con las cuales los estudiantes
descubren al analizar con qué polígonos regulares e irregulares es
posible recubrir un plano y por qué43.
También, el plegado en la geometría como facilitadora del aprendizaje
del dibujo técnico, del autor Jaime Orlando López Ávila, se enmarca
dentro del tipo de investigación descriptiva y se fundamenta en teorías
41 Graciela García Amadeo y Nora Santarelli. “Los procesos metacognitivos en la reso-
lución de problemas y su implementación en la práctica docente”, Educación Matemática,
vol. 16, n.° 2, México, Santillana, 2004, p. 134.
42 López. Ob. cit., p. 138.
43 Ibíd., p. 140.
29
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
del aprendizaje de Piaget, Van Hiele y Ausebel; parte de la necesidad
detectada por el profesor investigador en los alumnos de la muestra,
en quienes se manifiesta la falta de conocimiento en el área de dibujo
técnico. El objetivo de este trabajo es involucrar el plegado como es-
trategia para la enseñanza de conceptos en geometría, necesarios en el
desarrollo de la asignatura de dibujo técnico. Mediante la socialización
(el plegado), los docentes se motivaron a utilizar esta estrategia para
la enseñanza de las áreas involucradas. Una vez realizados los talleres,
se notó que los alumnos, interiorizaron el conocimiento de nociones
geométricas, que posteriormente se vio reflejado en el avance y aplica-
ción en el dibujo técnico.
Muy ligado con la presente investigación, el origami, un arte de ori-
gen japonés en el siglo i o ii D. C., consistente en el plegado de papel
sin usar tijeras ni pegamento para obtener figuras de formas variadas,
muchas de las cuales podrían considerarse como esculturas de papel
que, como técnica se denomina papiroflexia o cocotología, resulta ex-
pedito como estrategia para la enseñanza de la geometría en niños de
edad escolar. El autor Carabay Zambrano, en un texto define el arte del
origami respecto a la geometría y contextualiza al lector en las figuras
geométricas más elementales. A su vez, muestra las ventajas de utilizar
el origami como estrategia educativa para la enseñanza de la geometría
ya con esta el estudiante desarrolla la habilidad manual con el pensa-
miento y la visión y proporciona un aprendizaje significativo para el es-
tudiante ya que le permite previsualizar las diferentes figuras.
A su vez hay muchos maestros preocupados por dinamizar la ense-
ñanza de la geometría y esto se observa en el elaborado para el men44,
acerca de innovaciones didácticas referidas a la geometría y en el cual
la “geometría dinámica” se coloca a medio camino entre el mundo sen-
sible (perceptible por los sentidos), en este caso esencialmente visual,
y el mundo matemático, esencialmente abstracto. El libro presenta un
proyecto, centrado en el uso de programas computacionales que per-
mitan llevar a dos dimensiones lo que usualmente se hace con lápiz y
papel, permitiendo intervenir las figuras, con lo cual se quiere fomen-
44 men. Pensamiento geométrico y tecnologías computacionales, Proyecto Incorporación de
Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas de la Educación Básica Secundaria y Me-
dia de Colombia, abril, 2004, p. 89.
30
Gina Bibian Moreno Henao
tar la formación permanente de los docentes centrada en la reflexión
de su propia práctica en el salón de clase y en las posibilidades pedagó-
gicas y didácticas de diversos recursos, para contar con maestros más
creativos y comprometidos con el ejercicio profesional, estudiantes ac-
tivos haciendo matemática y colocando en juego todo su talento.
No obstante, hasta acá, se deduce que hay un énfasis en la dinami-
zación de las clases en el aula, aunque sin lograr llevar a efecto la posi-
bilidad de visualizar y conceptualiza en tres dimensiones la enseñan-
za de la geometría. Con relación a la necesidad de utilizar materiales
concretos en geometría, el trabajo de Villarroel y Sgreccia sobre
materiales didácticos concretos en geometría muestra la necesidad de
la manipulación. Identificaron y caracterizaron los materiales didácti-
cos concretos que pueden utilizarse en la enseñanza de los contenidos
geométricos en primer año de la educación secundaria45, clasificando
en modelos fijos de 2D y 3D46, rompecabezas geométricos, tangram47,
geoplanos, transformaciones dinámicas, diversas actividades posibles
de ser utilizadas en el aula como innovaciones didácticas en la ense-
ñanza de figuras y sólidos geométricos.
III. La papiroflexia, materiales y criterios
A las anteriores agregan la papiroflexia u origami48, con la cual se pue-
den abordar habilidades:
1. Visuales (percepción figura-fondo, discriminación visual, cons-
tancia perceptual, percepción de la posición espacial y de la re-
lación entre objetos).
2. De comunicación (recolección e interpretación de información,
denominación).
45 Silvia Villarroel y Natalia Sgreccia. “Materiales didácticos concretos en geometría en
primer año de secundaria”, Números Revista Didáctica de las Matemáticas, n.° 78, España,
Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas, 2011, pp. 73 a 94.
46 Ibíd., p. 83.
47 Ibíd., p. 84.
48 Ibíd., p. 89.
31
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
3. De dibujo y construcción (obtención de distintas vistas de un
mismo objeto).
4. Lógicas o de razonamiento (Argumentación, abstracción de pro-
piedades).
5. De aplicación y transferencia (identificación de formas y relacio-
nes geométricas en el mundo natural y artificial, análisis de las
formas n relación con el objeto en donde se encuentran).
De acuerdo con ello, Villarroel y Sgreccia tipifican los materiales y
actividades en criterios que se constituyen en ejes de análisis49:
Criterio 1. Cualidad: Considerando la característica propia de cada
material surgen dos categorías.
• Objeto tangible. Modelos fijos 2D y 3D, rompecabezas geométri-
cos, tangram, geoplano, transformaciones dinámicas.
• Objetos del entorno real. Técnica: Origami.
Criterio 2. Materia prima: Teniendo en cuenta el o los recursos nece-
sarios para su fabricación surgen tres categorías.
• Papel: Origami.
• Cartón, cartulina, madera, plástico, acrílico, goma eva, telgopor:
Modelos fijos 2D y 3D, rompecabezas geométricos, tangram,
geoplano y transformaciones dinámicas.
• Otros recursos: Objetos del entorno real.
Criterio 3. Disponibilidad: De acuerdo a la posibilidad de obtener
cada material, teniendo en cuenta que todos ellos son de fácil acceso,
se contemplan tres categorías.
49 Villarroel y Sgreccia. “Materiales didácticos concretos en geometría..., cit., pp. 90 y 91.
32
Gina Bibian Moreno Henao
• Construcción artesanal: Modelos fijos 2D y 3D, rompecabezas
geométricos, tangram, geoplano, origami, caleidoscopios, desa-
rrollos planos y varillas de mecano.
• Adquisición en comercios: Espejos/mira o réflex, papel/cartulina,
mapas, rejas, diarios/revistas, fotografías, poliformas y retículas.
• Observación directa: Entorno natural y artístico.
Criterio 4. Movilidad: Teniendo en cuenta el modo de interactuar con
el material se observan dos categorías.
• Dinámico: Rompecabezas geométricos, tangram, geoplano,
transformaciones dinámicas y origami y algunos objetos del en-
torno real (como por ejemplo la masa para modelar).
• Estático: Modelos fijos 2D y 3D y algunos objetos del entorno
real (como por ejemplo una estatua).
Criterio 5. Dimensión: De acuerdo a la dimensión geométrica que se
pretenda abordar, se consideran tres categorías.
• Bidimensión: Bloques lógicos de dienes, poliominós y poliaman-
tes, rompecabezas de la T, de la H, de la casita o la cruz griega,
rompecabezas de las cuatro T, rompecabezas de piezas idénticas,
demostraciones dinámicas, rompecabezas de mosaicos de Van
Hiele, rompecabezas por cuadratura, tangram chino, tangram de
Fletcher, cardiotangram, tangram hexagonal, tangram pentago-
nal, tangram triangular, tangram de Lloyd, tangram pitagórico,
tangram de Brügner, stomachion, tangram ovoide, geoplano or-
togonal, geoplano circular y entorno artificial.
• Tridimensión: Cuerpos geométricos rígidos, cubos y policubos,
cubo soma, cubo de Rubik, tangram espacial, geoplano isométri-
co, entorno natural y artístico.
• Bidimensión-tridimensión: Poliformas, varillas de mecano, retí-
culas, desarrollos planos y origami.
33
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
Criterio 6. Contenidos conceptuales: de organizan nueve categorías.
Posiciones entre rectas y planos: Tangram, geoplano, origami, en-
torno natural y artificial.
Sistemas de referencia para la ubicación de puntos en el plano:
Geoplano, origami, entorno natural y artificial.
Cuerpos poliedros: Origami, entorno natural y artificial, cuerpos
geométricos rígidos, poliominós y poliamantes, cubos y policu-
bos, cubo soma, cubo de Rubik, retículas, tangram espacial, geo-
plano triangular, poliformas y desarrollos planos.
Cuerpos redondos: Origami, entorno natural y artificial, cuerpos
geométricos rígidos y desarrollos planos.
Ángulos: Modelos fijos 2D y 3D, rompecabezas geométricos, tan-
gram, geoplano, transformaciones dinámicas, origami, varillas
de mecano y objetos del entorno real. Lugares geométricos.
Círculo y circunferencia: Cardiotangram y geoplano circular, Me-
diatriz y bisectriz: Origami y espejo/mira o réflex, varillas de me-
cano y papel/cartulina, Alturas y medianas: Origami, varillas de
mecano y papel/cartulina.
Polígonos: Tangram, geoplano, origami, entorno natural, entorno
artificial, bloques lógicos de dienes, poliominós y poliamantes,
rompecabezas de mosaicos de Van Hiele, poliformas, varillas de
mecano, caleidoscopios y papel/cartulina.
Transformaciones: Bloques lógicos de dienes, cuerpos geométri-
cos rígidos, poliominós y poliamantes, espejos, rompecabezas
de piezas idénticas, cubos y policubos, caleidoscopios, polifor-
mas, fotografías, papel, rejas, tangram, geoplano, origami, entor-
no natural y artificial.
Teorema de Thales. Semejanza: Bloques lógicos de dienes, polio-
minós y poliamantes, rompecabezas de Van Hiele, mapas, diarios/
revistas, fotografías, tangram, geoplano, origami y entorno natural.
34
Gina Bibian Moreno Henao
Criterio 7. Versatilidad: Se considera aquí la aplicabilidad de cada
material didáctico concreto en los diferentes ejes del área de Matemá-
tica, o de otras áreas de conocimiento, y la adaptación de los mismos
en los distintos niveles de escolaridad. De esta manera se originan dos
categorías y subcategorías.
Vinculación intra e inter área: Matemática: Eje Medidas: Modelos
fijos 2D y 3D, rompecabezas geométricos, tangram, geoplano,
transformaciones dinámicas, origami y objetos del entorno real;
Eje números y operaciones: Rompecabezas geométricos, tangram
y objetos del entorno real; Eje funciones: Geoplano y objetos del
entorno real; Eje estadística y probabilidades: Rompecabezas
geométricos, transformaciones dinámicas y objetos del entorno
real.
Otras áreas: Origami y objetos del entorno real. Niveles de esco-
laridad: Inicial: Modelos fijos 2D y 3D, geoplano, entorno natural
y papel/cartulina; Primario: Completo: Modelos fijos 2D y 3D,
geoplano, origami y objetos del entorno real; Último curso: Rom-
pecabezas geométricos, tangram y transformaciones dinámicas;
Secundario: Primeros cursos: Modelos fijos 2D y 3D, geoplano,
transformaciones dinámicas y objetos del entorno real; Com-
pleto: Rompecabezas geométricos, tangram y origami; Superior:
Origami y objetos del entorno real.
Finalmente, la importancia de desarrollar en los niños habilidades
como pensar matemáticamente, saber argumentar, saber representar
y comunicar, saber resolver, saber usar técnicas matemáticas e instru-
mentos y saber modelizar, se permite mediante la comparación con
elementos geométricos de la realidad en el entorno para sensibilizar a
docentes e instituciones educativas “que los que no estamos enseñan-
do está en nuestro propio contexto”50. La autora ofrece 52 situaciones
en el espacio y figuras geométricas, cada una con tres ejemplos de ob-
jetos convencionales en la realidad que los pueden representar51.
50 Claudi Alsina. Geometría y la realidad, Barcelona, Universidad Politécnica de Cataluña.
51 Ibíd., pp. 5 y 6.
35
Capítulo tercero
Diseño, procedimiento y resultados
I. El entorno de investigación
El iepi es un centro educativo con alumnos de origen social estratifica-
do como bajo, estratos uno y dos, lo cual permitiría catalogarla como
escuela critica52, dado que podrían precaverse los factores sociales de
alto riesgo, algunas tendencias hacia niveles de bajo rendimiento en
las pruebas estandarizadas, la inserción en un medio socio económico
bajo y, algunos pocos fenómenos de deserción y repitencia, de acuerdo
con la definición de Lastra.
A. Entrevista exploratoria a grupo focal
En acuerdo con la idea central de que hacen parte esencial de la es-
tructura curricular de una institución, además de otros elementos ya
mencionados, los criterios pedagógicos de sus docentes y directivas, se
consultó a estos acerca de cómo es la enseñanza de la geometría en la
Institución Educativa Ismael Perdomo -ieip-, en Bogotá.
Con esta perspectiva se realizó una entrevista focal a un grupo de
docentes del plantel acerca de su enfoque pedagógico aplicado a la en-
señanza de la geometría dentro de la institución. Para conformación
del grupo entrevistado se tuvo como criterios de selección el nivel aca-
démico en áreas de matemáticas, educación básica primaria y proyec-
tos educativos, así como su experiencia docente. Como resultado, los
docentes que participaron cuentan todos con larga experiencia docen-
te y niveles académicos como licenciaturas en educación básica prima-
52 Lastra. Propuesta metodológica de enseñanza y aprendizaje de la geometría, cit.
37
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
ria en matemáticas, edumática con énfasis en multimedia, gerencia de
proyectos educativos, matemáticas e igualmente magister en didáctica
de las ciencias, así como en gerencia de instituciones, persona que ejer-
ce actualmente de coordinadora académica del ieip:
Tabla 1
Grupo focal de entrevista exploratoria
Nombre
Nivel académico
Experiencia y publicaciones
Hilba del
Licenciada en educa-
Docente experiencia 24 años, sector ru-
Carmen
ción básica primaria,
ral y urbano; Desde 2006, coordinadora
Guerrero
especialista en geren-
académica del Colegio Ismael Perdomo;
Acuña
cia de instituciones.
Ha desarrollado actividades pedagógi-
cas en el área de matemáticas del grado
primero al sexto de educación básica,
1
trabajo dos años en el anillo matemático
en la ciudad de Bogotá y como coordi-
nadora se ha hecho el proceso de la re-
organización curricular por ciclos en la
Institución Ismael Perdomo donde se
han logrado avances significativos en
ciclo i y ii.
Alexander
Licenciado en mate-
Docente de matemáticas y física desde
Bejarano
máticas y física de la
el año 2002 en este tiempo ha realiza-
Montañéz
Universidad de Cun-
do aportes en la construcción de blogs
2
dinamarca
matemáticos y programas matemáticos
los cuales han facilitado la enseñanza de
la matemática en educación básica y me-
dia secundaria.
Olga Prieto
Licenciada en educa-
Docente de matemática en primaria
Valbuena
ción básica primaria.
ilustrando como se pueden aplicar a la
Especialista en arte y
vida diaria de una manera amena, alegre
3
folclor.
y lúdica.
Especialista en ge-
rencia de proyectos
educativos.
38
Gina Bibian Moreno Henao
Luz Libia
Licenciada en mate-
Docente de matemáticas del sector pri-
Pinzón
máticas de la Univer-
vado y público. En toda su carrera siem-
sidad Pedagógica de
pre ha estado preocupada por que las
4
Colombia.
tics estén inmersas en el aula, por esto
Magister en didáctica
ha creado plataformas Moodle y blogs
de las ciencias.
los cuales han ayudado a la enseñanza
de la matemática.
Myriam
Licenciada en básica
Docente con 33 años de servicio como
Cristina
primaria.
docente en el distrito, 16 años como
Ramírez
Especialización edu-
docente de primaria y 17 años como
Duarte
mática con énfasis en
directivo docente así: cinco años como
5
multimedia.
directora de primaria, cuatro años como
coordinadora de convivencia y académi-
ca, cuatro años como rectora en encargo
y los últimos cuatro años como coordi-
nadora académica.
El procedimiento con el grupo focal, homogéneo por formación y ex-
periencia, se basó en entrevista colectiva y semiestructurada que fue
moderada por la autora del proyecto. Esta técnica cualitativa de reco-
lección de información, giró alrededor de 1) la importancia de la ense-
ñanza de la geometría en básica primaria y 2) del grado de formación
con que realmente cuentan los docentes que la enseñan.
B. La evidencia del problema planteado
Las dos temáticas tratadas dentro del grupo evidenciaron el problema
acá planteado con base en que la intensidad horaria para impartir la
geometría ha sido reducida restándole importancia relativa frente a
otras áreas, y en que gran parte de los docentes no han recibido una
educación profesional clara en la geometría que deben enseñar en la
básica primaria.
1. En cuanto a la importancia actual concedida a la enseñanza de la
geometría:
El grupo consideró que “la geometría se ha dejado un poco relegada y
sobre todo en primaria”, fundamentalmente considerando que
en el espacio [...] y entorno todo son líneas, donde todo es cuadrados, cubos
39
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
pero los niños como que no tienen esa dimensión [...] sería bueno como
empezar a idear estrategias, o a sacar módulos, trabajos, hacer unidades
didácticas donde de verdad la geometría sea como la base fundamental de la
enseñanza de la matemática.
La geometría es parte fundamental de la cultura del hombre, en lo que
todos están de acuerdo, siendo también importante
ya que nuestro lenguaje verbal diario posee muchos términos geométricos,
como punto, paralela o recta [...] destinados a determinar la ubicación, el
tamaño o la forma de un objeto [...] ante todo en las primeras etapas educativas.
Se consideró, igualmente, que la geometría es uno de los mejores me-
dios para enseñar a los estudiantes a ser analíticos, ya que “propor-
ciona al niño un tipo propio de racionamiento y deducción que dis-
tingue y asigna características y propiedades en las diversas figuras
geométricas”.
Según los integrantes del grupo focal “la geometría contribuye a re-
presentar visualmente conceptos y procesos de la matemática, además
de desarrollar en los educandos capacidades analíticas y espaciales” y,
sin embargo, “ha carecido de importancia desde hace mucho tiempo,
situación que se acentúa en los últimos años”. Se afirmó que “son pocos
los educadores que gustan de la misma, al igual que el establecer cone-
xiones con la matemática, es para algunos una tarea ardua”. Se da poca
relevancia a la misma, atreviéndose a plantear en sus proyectos edu-
cativos, intensidades mínimas que no satisfacen las necesidades de los
educandos, quienes se conforman con lo mínimo “pues muchos creen
llevar una vida más tranquila sin números y sin nada que demostrar”.
2. En cuanto al grado de formación con que realmente cuentan los do-
centes que la enseñan.
El grupo consideró que
sí, nos falta como mucho, nos hemos limitado solamente a sumar, restar,
multiplicar y dividir [...] creemos que hay que hacer una reflexión y volver
a retomar muchas de esas cosas importantes que tiene la geometría en las
matemáticas.
40
Gina Bibian Moreno Henao
Igualmente, en el grupo focal se estuvo de acuerdo con escuchan a
diario:
el comentario de muchos compañeros docentes que dicen que en la universidad
no fueron educados para dar clase en colegio, que las clases fueron enfocadas
más a universidad y que por lo tanto lo que deben enseñar acá ya sea en
primaria o bachillerato lo han aprendido de lo que recuerdan del colegio o de
lo que han repasado.
Respecto a esto, “una de las falencias relacionadas es que el progra-
ma de matemáticas requiere de estar actualizándolo todos los años” y,
más aún, “ahora con la educación en ciclos es posible que los docentes
prefieran enseñar en la matemática lo de todos los días” y “que en la
geometría no fueron educados ni en la universidad ni de manera autó-
noma ya que no se ve la necesidad e incluso se pudiera pensar que los
bajos puntajes en el icfes radican en lo mismo”.
En el grupo sus integrantes dedujeron que:
si un docente o futuro docente no termina de construir o aprender en la
formación universitaria para qué les sirve a los niños la geometría, difícilmente
lo va a enseñar y, si lo enseña y no entiende para que sirve enseñarlo, es mejor
que no lo enseñe y que enseñe otras cosas que posiblemente crea que le van a
servir al estudiante.
Aunque no sabrían con certeza si los docentes son educados o no para
la enseñanza de la geometría,
lo que sí es bien cierto es que hay quienes prefieren dejar esta rama de la
matemática a un lado, más aun cuando la cantidad de contenidos por cubrir
es inversamente proporcional a la intensidad horaria destinada para tal fin y
además teniendo en cuenta que la geometría y la matemática se enseñan por
lo general de manera totalmente desligada la una de la otra.
Estuvieron de acuerdo en que:
valdría la pena investigar si el no enseñar geometría es responsabilidad de
quienes forman a los futuros licenciados, y ajustar de esta forma currículos
o simplemente hace parte del gusto de los educadores, situación totalmente
negativa e irresponsable, teniendo en cuenta las necesidades de los educandos
y la utilidad que presta la geometría en el apoyo de conceptos netamente
matemáticos.
41
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
II. El procedimiento de investigación
A. Etapa 0: Validación del instrumento test
Etapa 0: se realizó la validación del instrumento diseñado (anexo 1)
con base en el criterio de cinco (5) expertos docentes pertenecientes a
la misma institución ieip.
Los criterios de selección fueron basados en la formación en mate-
máticas, pedagogía y didáctica, así como en su experiencia docente en
estas mismas áreas y concretamente en geometría.
A los expertos seleccionados se les proveyó sendos borradores del
formato diseñado por la autora de este proyecto. En consecutivas oca-
siones se hizo corrección de:
1. Los términos utilizados que pudieran generar sesgo en la infor-
mación obtenida en los estudiantes de los grupos control y ex-
perimental.
2. La inexistencia de errores en las soluciones planteadas.
3. La definición de objetivos prácticos en cada uno de los talleres a
ser aplicados.
4. La definición de objetivos didácticos en estos talleres.
5. La especificación de tipos de material a ser utilizados.
6. Fundamentalmente, los expertos aportaron la necesidad de es-
tablecer preguntas de control para uso docente en cada taller.
Finalmente, quedaron definidas 15 preguntas para el instrumento de
investigación en coherente correlación con el diseño de los talleres a
ser aplicados.
42
Gina Bibian Moreno Henao
Tabla 2
Grupo de expertos para consulta
Nombre
Nivel académico
Experiencia y publicaciones
Evelin
Licenciada en matemáticas
Docente del Colegio Distrital Sierra
Moncada
de la Universidad Distrital.
Morena durante nueve años y do-
Sánchez
Especialista en estadística
cente de la Universidad Distrital des-
1
de la Universidad Nacional.
de hace ocho años donde dicta cál-
Especialista en docencia
culo diferencial, vectorial e integral.
universitaria de la Universi-
dad Cooperativa.
Francy
Licenciada en matemáticas,
Docente experiencia 11 años. Co-au-
Angélica
Universidad Distrital Fran-
tora de: 1) Una propuesta didáctica
Riveros
cisco José de Caldas.
para la enseñanza de la geometría,
Santa
Magister en educación, Uni-
Maracaibo, 2007; 2) Guías de apren-
2
versidad Santo Tomás.
dizaje para el área de matemáticas
grado segundo. Modelo Círculos de
Aprendizaje, Convenio Corporación
Infancia y Desarrollo-acnur, Bogo-
tá, 2010 (no publicadas).
Jorge
Licenciado en matemáticas,
Docente experiencia 13 años. Co-
Enrique
Universidad Francisco de
autor de Una propuesta didáctica
3
Sarmiento
Paula Santander.
para la enseñanza de la geometría,
Martínez
Maracaibo, 2007.
Claudia
Licenciada en matemáticas,
Docente de matemáticas y estadís-
Jeannette
Universidad Distrital.
tica en aspaen Gimnasio Iragua,
4
Coronado
Especialista en pedagogía.
donde siempre ha estado lideran-
Rodríguez
Magister en informática
do procesos del pensamiento ma-
educativa.
temático e investigación en el aula.
Stefany
Especialista en didáctica de
Docente en el sector privado, coor-
Paola
la lecto-escritora.
dinadora de preescolar y primaria
Morato
Especialista en educación y
en el Colegio Los Angeles Helvetia
5
Henao
orientación familiar.
durante cinco años.
Magister en educación, fa-
milia y desarrollo.
43
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
B. Etapa 1: aplicación del pre-test
Etapa 1: aplicación de pre-test de conocimientos en geometría a un
grupo experimental y un grupo control.
En la presente situación la variable experimental es el rendimiento
obtenido por cada uno de los dos grupos, tanto en la etapa 1 de pre-test
como en la etapa 2 de pos-test.
Siendo así, esta variable independiente está representada en los ta-
lleres diseñados para realizar la intervención didáctica. La variable de-
pendiente se mide a través de un indicador de tasa de éxito del grupo
experimental respecto del grupo control.
Los factores invalidantes que cautelan la relación entre la variable
independiente y la variable dependiente se encuentran en la variable
moderadora representada en los conocimientos previos de los sujetos
estudiantes. Al respecto puede verse la tabla 11 en el capítulo de resul-
tados de este documento.
Cada uno de los dos grupos estuvo integrado por 35 sujetos de in-
vestigación, alumnos pertenecientes al grado 6.
Se aplicó la primera prueba de conocimiento en geometría, median-
te el pre-test cuyos resultados fueron los siguientes:
Tabla 3
Tabulado de resultados de aplicación del pre-test (grupo control)
pregunta n.°
correctas
incorrectas
1
22
13
2
17
18
3
28
7
4
23
12
5
32
3
6
17
18
7
13
22
8
30
5
9
11
24
10
18
17
11
14
21
12
29
6
44
Gina Bibian Moreno Henao
13
28
7
14
25
10
15
12
23
Fuente: La autora con base en datos de evaluación al grupo identificado como 601 del iepi.
En esta etapa 1 de pre-test, el grupo Control estuvo integrado por estu-
diantes cuyas clases de geometría fueron impartidas mediante método
convencional de enseñanza, con base en texto acorde con las exigen-
cias curriculares del Ministerio de Educación Nacional, men.
A su vez, el grupo experimental, igualmente tuvo clases previas de
geometría impartidas mediante igual método convencional de ense-
ñanza, acorde con las exigencias curriculares del men.
Tabla 4
Tabulado de resultados de aplicación del pre-test
(grupo experimental)
pregunta
correctas
incorrectas
1
15
20
2
11
24
3
30
5
4
17
18
5
29
6
6
18
17
7
11
24
8
27
8
9
8
27
10
15
20
11
10
25
12
31
4
13
29
6
14
22
13
15
8
27
Fuente: La autora con base en datos de evaluación al grupo identificado como 603 del iepi.
45
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
El resultado observable en esta etapa pre-test mostró un mejor re-
sultado por parte del grupo control. Para determinar ello se diseñó un
indicador de tasa de éxito, que compara el porcentaje de estudiantes
con respuesta correcta en cada una de las preguntas.
De esta manera, la tasa de éxito experimental/control, mostró me-
nores resultados del grupo experimental frente a los obtenidos por el
grupo control. Solamente en las preguntas 3 (con 1,07), 6 (con 1,06),
12 (con 1,07) y 13 (con 1,04), el grupo experimental superó en número
de preguntas con respuesta correcta al grupo control.
Tabla 5
Tabulado de contraste de resultados del pre-test
(grupo experimental/grupo control)
Grupo control
Grupo experimental
Tasa éxito
pregunta
correctas %
correctas %
experimental/control
1
62,86
42,86
0,68
2
48,57
31,43
0,65
3
80,00
85,71
1,07
4
65,71
48,57
0,74
5
91,43
82,86
0,91
6
48,57
51,43
1,06
7
37,14
31,43
0,85
8
85,71
77,14
0,90
9
31,43
22,86
0,73
10
51,43
42,86
0,83
11
40,00
28,57
0,71
12
82,86
88,57
1,07
13
80,00
82,86
1,04
14
71,43
62,86
0,88
15
34,29
22,86
0,67
Fuente: La autora.
46
Gina Bibian Moreno Henao
C. Etapa 2: Intervención didáctica
Etapa 2: intervención pedagógica mediante talleres en los cuales se
aplicaron técnicas de papiroflexia en la enseñanza de las premisas cu-
rriculares de geometría-métrica, para que el estudiante alcance com-
petencias manifiestas en la manipulación, imaginación, poder de aso-
ciación, construcción, identificación de propiedades, relación de figu-
ras geométricas, generalización y capacidad de abstracción lográndose
por parte del profesor un alto nivel de identidad didáctica para la en-
señanza de la geometría en este grado de formación de los estudiantes.
Los talleres diseñados para el efecto, uno introductorio y dos de
concepto múltiple geométrico, se presentan a continuación.
Los talleres tiene como objetivos básicos, involucrar un carácter
didáctico basado en la lúdica que representa su desarrollo, dados los
elementos de color y artesanía manual involucrados en el proceso de
aprendizaje y generando en los estudiantes factores de interés en el
trabajo coordinado por el docente.
1. Taller introductorio
Este primer taller tiene como objetivo que el estudiante conozca los
dobleces fundamentales básicos utilizados en esta técnica de papiro-
flexia, necesarios como requisito para la posterior elaboración de cada
una de las figuras modulares fundamentales en la geometría.
• Objetivo práctico: Conocer los dobleces fundamentales para la ela-
boración de los diferentes módulos.
• Objetivo didáctico 1: Identificar elementos básicos como la diago-
nal, la perpendicularidad, la mediatriz, la figura inscrita, ángulos y
vértices.
• Objetivo didáctico 2: Analizar los atributos (composición de terce-
ras figuras) y propiedades (perímetros y áreas) del cuadrado, el
rectángulo y el triángulo.
• Materiales: 6 hojas cuadradas de papel para plegado de 60 gramos,
no tóxico, no decolorante.
47
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
• Preguntas de control:
1. ¿Cuáles figuras se pueden identificar?
2. ¿Cuáles son sus características?
3. ¿Qué cambios particulares se han dado en las áreas de estas fi-
guras?
4. ¿Qué cambios particulares se han dado en los perímetros de es-
tas figuras?
Figura 1
Taller introductorio, dobleces fundamentales
Plegado en valle:
Doblamos la parte inferior a la superior
Plegado en montaña:
Doblamos la parte superior a la inferior
48
Gina Bibian Moreno Henao
Unimos dos vértices no consecutivos
Diagonal
del papel
Perpendicularidad
Doblamos la hoja por las dos mitades
Mediatriz
Al tener dos lineas perpendiculares, es
decir dividir la hoja en cuatro cuadra-
dos, podemos doblar por las dos diago-
nales y obtener longitudes que tienen la
misma medida.
49
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
Cuadrado regular inscrito
Si llevamos las cuatro esquinas de la
hoja de papel al centro obtenemos un
cuadrado regular inscrito.
Cuadricula o ajedrezado
Doblamos ambas mitades y luego lleva-
mos cada uno de los lados a la mitad de
la hoja.
50
Gina Bibian Moreno Henao
Triangulo equilatero
Marcamos una mitad del cuadrado. Lle-
vamos uno de los vertices sobre esta
mitad teniendo en cuenta el vertice con-
tinuo a este. Luego realizamos el mismo
proceso con las esquinas contrarias y los
cruces definen el triangulo equilatero.
En el aprendizaje de las técnicas manuales se introducen de manera
simultánea dos objetivos didácticos:
Con el primer objetivo ele estudiante, al hacer los dobleces, ha de
identificar conceptos geométricos elementales como la diagonal, la
perpendicularidad, la mediatriz, la figura inscrita, los ángulos y los
vértices.
Un segundo objetivo didáctico permite que el estudiante analice los
atributos de composición de terceras figuras y de propiedades de mé-
trica en geometría como son los perímetros y las áreas de las figuras
cuadradas, rectangulares y triangulares.
Cada uno de los estudiantes cuenta con seis (6) hojas cuadradas de
papel no tóxico ni decolorante, para plegado y con grosor de 60 gramos.
Las preguntas de control están diseñadas para que, mediando el
trabajo de coordinación del docente, se pueda valorar cualitativamen-
te la incidencia positiva del proceso introductorio de la técnica en el
estudiante.
51
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
1.
¿Cuáles figuras se pueden identificar?
2.
¿Cuáles son sus características?
3.
¿Qué cambios particulares se han dado en las áreas de estas fi-
guras?
4.
¿Qué cambios particulares se han dado en los perímetros de es-
tas figuras?
2. Taller 1: Polígonos y bidimensionales
• Objetivo práctico: Generar aprestamiento en el doblez.
• Objetivo didáctico 1: identificar elementos básicos de polígonos
(cuadrado, paralelogramo, hexágono y octágono).
• Objetivo didáctico 2: Analizar los atributos (composición de terce-
ras figuras) y propiedades (perímetros y áreas) del cuadrado y el
triángulo.
• Materiales: Ocho (8) hojas cuadradas de papel para plegado de 60
gramos, no tóxico, no decolorante.
• Preguntas de control:
1.
¿Cuáles figuras se pueden identificar?
2.
¿Cuáles son sus características?
3.
¿Qué cambios particulares se han dado en las áreas de estas fi-
guras?
4.
¿Qué cambios particulares se han dado en los perímetros de es-
tas figuras?
Nota: Esta figura fue ideada por Robert Weale y tiene una doble fun-
ción: es una estrella octogonal (ocho puntas) que al abrir sus módulos
se convierte en un octágono regular.
52
Gina Bibian Moreno Henao
Figura 2
Taller 1, octágono estrellado
1. Tomamos un cuadrado
2. Lo doblamos por las dos mitades
3. Plegamos hacia adelante los vértices
4. Con estos dobleces realizados nueva-
superiores llevándolos hasta la mitad
mente doblamos el modulo por la mitad
5. Llevamos el extremo izquierdo del
6. Desdoblamos el modulo hasta llegar
modelo hacia adelante formando un pa-
nuevamente a la mitad observando el
ralelogramo
triángulo que se formó en la parte inferior
53
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
7. Tomamos el modulo por la punta y
8. Realizamos ocho módulos siguiendo
simultáneamente metemos el triángulo
los procesos mencionados y ensambla-
que se formó en la parte inferior
mos como se muestra a continuación
doblando las aletas sobrantes.
54
Gina Bibian Moreno Henao
9. Al ensamblar el octagono en el centro
Y un hexagono (poligono de seis lados)
podemos observar como se forma un
cuadrado poligono de cuatro lados).
Octagono estrellado
Octagono regular
Este taller busca utilizar el doblez del papel para obtener la represen-
tación de los polígonos básicos a través de dos objetivos:
El primer objetivo didáctico que alcanza el estudiante es la identi-
ficación de elementos básicos como el cuadrado, el paralelogramo, el
hexágono y el octágono. En el logro de un segundo objetivo, el estu-
diante analiza los atributos de composición de terceras figuras y de
reconocimiento de propiedades métricas de perímetro y área en el
cuadrado y el triángulo.
En el desarrollo de este taller el estudiante utiliza como material
ocho (8) hojas cuadradas de papel para plegado de 60 gramos, no tóxi-
co ni decolorante.
55
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
Las preguntas de control permiten que el docente, pueda valorar
cualitativamente el alcance de los objetivos del taller por parte del es-
tudiante.
1.
¿Cuáles figuras se pueden identificar?
2.
¿Cuáles son sus características?
3.
¿Qué cambios particulares se han dado en las áreas de estas fi-
guras?
4.
¿Qué cambios particulares se han dado en los perímetros de es-
tas figuras?
3. Taller 2: Sólidos y tridimensionales
Objetivo práctico: Ensamble de una figura sólida.
Objetivo didáctico 1: identificar elementos básicos de un hexaedro
como vértices, caras y aristas.
Objetivo didáctico 2: Analizar los atributos (composición de ter-
ceras figuras) y propiedades (perímetros, áreas y volumen) del
hexaedro.
Materiales: 3 hojas cuadradas de papel para plegado de 60 gramos,
no tóxico, no decolorante.
Preguntas de control:
1.
¿Cuáles figuras se pueden identificar?
2.
¿Cuáles son sus características?
3.
¿Qué cambios particulares se han dado en las áreas de estas fi-
guras?
4.
¿Qué cambios particulares se han dado en los perímetros de es-
tas figuras?
5.
¿En el sólido resultante qué relaciones existen entre área y vo-
lumen?
56
Gina Bibian Moreno Henao
Figura 3
Taller 2.1, cubo de tres módulos
1. Partimos de una hoja cuadrada
2. Doblamos las diagonales
3. Llevamos vértices opuestos al
centro
4. Doblamos los lados formados a la
5. Vértices opuestos al centro
diagonal
6. Debe formarse un cuadrado
7. Deben hacerse tres módulos
57
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
8. Cada pestaña debe ir con su
9. Se unen los tres módulos de la
bolsillo como se muestra en la fig.
misma forma y la fig. queda
terminada
El taller pretende como objetivo práctico, realizar el ensamble de una
figura sólida. Mediante este aprendizaje se obtienen dos objetivos di-
dácticos:
El objetivo didáctico 1, permite al estudiante identificar elementos
básicos de un hexaedro como son los vértices, las caras y las aristas.
El objetivo didáctico 2, provee la capacidad de analizar los atributos
de dichas figuras fundamentales mediante la composición de terceras
figuras. Igualmente le permite al estudiante evidenciar en ellas sus
propiedades métricas en términos de perímetros, áreas y volúmenes,
a través del hexaedro.
El estudiante utiliza como materiales básicos tres (3) hojas cuadra-
das de papel para plegado de 60 gramos, no tóxico, ni decolorante.
Las preguntas de control a ser utilizadas por el docente buscan con-
firmar la identificación lograda, las características geométricas de las
figuras identificadas, los cambios que se producen en sus mediciones
en dos y tres dimensiones.
1.
¿Cuáles figuras se pueden identificar?
2.
¿Cuáles son sus características?
3.
¿Qué cambios particulares se han dado en las áreas de estas fi-
guras?
4.
¿Qué cambios particulares se han dado en los perímetros de es-
tas figuras?
5.
¿En el sólido resultante qué relaciones existen entre área y vo-
lumen?
58
Gina Bibian Moreno Henao
Objetivo práctico: ensamblar una figura sólida.
Objetivo didáctico 1: identificar elementos básicos de un rombo (bi-
dimensional) y un hexaedro (tridimensional) como vértices, caras
y aristas.
Objetivo didáctico 2: Analizar los atributos (composición de ter-
ceras figuras) y propiedades (perímetros, áreas y volumen) del
hexaedro.
Materiales: Seis (6) hojas cuadradas de papel para plegado de 60
gramos, no tóxico, no decolorante.
Preguntas de control:
1.
¿Cuáles figuras se pueden identificar?
2.
¿Cuáles son sus características?
3.
¿Qué cambios particulares se han dado en las áreas de estas fi-
guras?
4.
¿Qué cambios particulares se han dado en los perímetros de es-
tas figuras?
5.
¿En el sólido resultante qué relaciones existen entre área y vo-
lumen?
Nota: Nessan Texto descriptivo. Este modelo fue creado por Tochie
Takajama. A partir de este módulo podemos formar cubos, octágonos
y decágonos.
59
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
Figura 4
Taller 2.2, cubo de seis módulos
1. Doblamos un cuadrado por la mitad
2. Llevamos los lados a la mitad de la
hoja
3. Luego formando un rectángulo y te-
4. Para darle firmeza al módulo levanta-
niendo en cuenta partir siempre por la
mos un poco la aleta y aseguramos cada
misma esquina doblamos de tal manera
una de las puntas.
que formemos un paralelogramo.
60
Gina Bibian Moreno Henao
5. Volteamos la figura y doblamos de
6.Realizamos seis módulos iguales y en-
modo que formemos un rombo.
samblamos como se ve a continuación.
7. A medida que se van ensamblando los
8. Cubo ensamblado.
módulos se puede observar que el cubo
tiene seis caras, 12 aristas y ocho vértices.
Nota: Se aportan como información complementaria unos talleres di-
señados como avanzados (anexo 2).
Dicho talleres no fueron utilizados en la intervención pedagógica,
dado que consisten en figuras combinatorias de las figuras básicas que
ya han sido previstas en los talleres introductorios 1 y 2.
El taller busca obtener el objetivo práctico de que el estudiante pue-
da realizar el ensamble de una figura sólida. Mediante dicho aprendiza-
je se obtienen dos objetivos didácticos. El objetivo didáctico 1, permite
que al estudiante identificar elementos básicos como vértices, caras y
aristas a través de figuras de dos figuras que son el rombo (bidimen-
sional) y el hexaedro (tridimensional). El objetivo didáctico 2, ha de
permitir que el estudiante analice los atributos (composición de terce-
ras figuras) y propiedades (perímetros, áreas y volumen) mediante las
figuras previstas.
Los materiales consisten en seis (6) hojas cuadradas de papel para
plegado de 60 gramos, no tóxico ni decolorante.
61
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
A través de las preguntas de control se debe confirmar la identifica-
ción lograda, las características geométricas de las figuras identifica-
das, así como los cambios que se producen en la medición bidimensio-
nal y tridimensional.
1.
¿Cuáles figuras se pueden identificar?
2.
¿Cuáles son sus características?
3.
¿Qué cambios particulares se han dado en las áreas de estas fi-
guras?
4.
¿Qué cambios particulares se han dado en los perímetros de es-
tas figuras?
5.
¿En el sólido resultante qué relaciones existen entre área y vo-
lumen?
D. Etapa 3: Aplicación del pos-test
Etapa 3: Aplicación de un pos-test en los dos grupos de muestra con el
fin de identificar los conocimientos alcanzados luego de la implemen-
tación de la etapa de intervención pedagógica. Pasado un período de
dos (2) meses, de acuerdo con el plan curricular, la etapa de interven-
ción fue culminada. Se procedió a aplicar la prueba final de contraste
representada en el pos-test cuyos resultados se presenta a continua-
ción. Los resultados del grupo control fueron los siguientes:
Tabla 6
Tabulado de resultados de aplicación del pos-test
(grupo control)
Pregunta
Correctas
Incorrectas
1
26
9
2
22
13
3
28
7
4
25
10
5
30
5
6
23
12
7
18
17
8
30
5
62
Gina Bibian Moreno Henao
9
24
11
10
23
12
11
16
9
12
30
5
13
29
6
14
26
9
15
15
20
Los resultados del grupo experimental fueron tabulados y se presen-
tan a continuación en la siguiente tabla.
Tabla 7
Tabulado de resultados de aplicación del pos-test
(grupo experimental)
Pregunta
Correctas
Incorrectas
1
29
6
2
30
5
3
33
2
4
26
9
5
32
3
6
31
4
7
27
8
8
30
5
9
28
7
10
25
10
11
21
14
12
33
2
13
34
1
14
33
2
15
27
8
63
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
E. Etapa 4: Intervención didáctica
Etapa 4: Evaluación de la hipótesis de existencia de diferencias signi-
ficativas en los resultados pre-test y pos-test entre los grupos experi-
mental y de control.
64
Capítulo cuarto
Resultados de la investigación
El procedimiento de análisis de los datos y/u otra información reuni-
da, se realizó mediante proporciones y gráficos de estadística descrip-
tiva y la prueba de hipótesis mediando pruebas de estadística analítica,
para confirmación de posibles diferencias significativas entre los gru-
pos de muestra.
De los resultados descriptivos a continuación se observa un claro
incremento en la evaluación obtenida por los dos grupos en la prueba
pos-test frente a la prueba pre-test.
Tabla 8
Tabulado de resultados de contraste pre-test - pos-test
(grupo control)
Pregunta
Correctas %
Correctas %
1
62,86
74,29
2
48,57
62,86
3
80,00
80,00
4
65,71
71,43
5
91,43
85,71
6
48,57
65,71
7
37,14
51,43
8
85,71
85,71
9
31,43
68,57
10
51,43
65,71
11
40,00
64,00
12
82,86
85,71
65
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
13
80,00
82,86
14
71,43
74,29
15
34,29
42,86
Promedio
60,76
70,74
Tabla 9
Tabulado de resultados de contraste pre-test - pos-test
(grupo experimental)
Pregunta
Correctas %
Correctas %
1
42,86
82,86
2
31,43
85,71
3
85,71
94,29
4
48,57
74,29
5
82,86
91,43
6
51,43
88,57
7
31,43
77,14
8
77,14
85,71
9
22,86
80,00
10
42,86
71,43
11
28,57
60,00
12
88,57
94,29
13
82,86
97,14
14
62,86
94,29
15
22,86
77,14
Promedio
53,52
83,62
Es así como el grupo control obtuvo una mayor calificación promedio
en el pre-test en contraste con la obtenida por el grupo experimental.
Sin embargo, el grupo experimental supera ampliamente la califica-
ción promedio en el pos-test. El incremento absoluto de calificación
del grupo control entre las dos pruebas fue de 9,98; mientras que el
grupo experimental alcanzó una mejora absoluta equivalente al 30,10.
66
Gina Bibian Moreno Henao
Tabla 10
Valores t para prueba de diferencias significativas
Probabilidad
5%
Pre-test
0,05
Pos-test
Tasa éxito
Pregunta
Tasa éxito
experimental/
Valor
experimental/
control
t =
esperado
control
1
0,68
36,62
1,17
1,12
2
0,65
58,73
1,43
1,36
3
1,07
12,43
1,24
1,18
4
0,74
26,41
1,09
1,04
5
0,91
16,00
1,12
1,07
6
1,06
26,67
1,42
1,35
7
0,85
54,54
1,58
1,50
8
0,90
11,22
1,05
1,00
9
0,73
37,25
1,23
1,17
10
0,83
23,05
1,14
1,09
11
0,71
20,21
0,98
0,94
12
1,07
6,44
1,16
1,10
13
1,04
14,62
1,23
1,17
14
0,88
33,88
1,33
1,27
15
0,67
91,55
1,89
1,80
La hipótesis de investigación afirma que existen diferencias significa-
tivas en la evaluación de conocimientos en geometría-métrica entre
grupos homogéneos y como resultado de la aplicación de técnicas di-
dácticas de papiroflexia. Es así como los resultados muestran que di-
cha hipótesis se confirma en términos absolutos, aunque los términos
relativos de estadística analítica, bajo prueba t de Student, no demos-
trarían diferencias significativas en la evaluación de conocimientos en
geometría-métrica entre grupos homogéneos y como resultado de la
aplicación de técnicas didácticas de papiroflexia.
67
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
Tabla 11
Variables de investigación
Variables
Descripción
Indicador
Variable independien-
te o experimental
Taller 0
Taller 1
Taller 2
Variable independien-
Conocimientos
te moderadora
previos
Tasa de éxito
% resp correc grupo experimen-
Variable dependiente
experimental/control
tal / % resp correc grupo control
Variables dependien-
tes moderadoras
Competencias según pregunta
Variable interviniente
% respuestas correctas
Dado que los dos grupos contrastados pueden representar una muestra
que, al no ser obtenida aleatoriamente, no representa una distribución
normal y, además que no se busca determinar un parámetro en espe-
cial, una prueba válida para confirmación de diferencias podría ser de
índole no paramétrica para este caso de dos muestras independientes.
Tabla 12
Clasificación de competencias según tipo de pregunta
Pregunta
Competencia según pregunta
1
Ab
2
C
3
R
4
IP
5
C
6
M
7
IP
8
C
9
IP
10
IP
68
Gina Bibian Moreno Henao
11
IP
12
IP
13
Ab
14
IP
15
IP-Ab -A
Convención de competencias según pregunta:
Indicador
Competencia
M
Manipulación
A
Asociación
C
Construcción
IP
Identificación de propiedades
R
Relación
Ab
Abstracción
Fuente: La autora, con base en el instrumento de evaluación diseñado.
Con los criterios en el diseño de las preguntas, podría afirmarse que
las pruebas pre-test y pos-test miden el alcance de competencias en
la identificación de propiedades (8 de 15 preguntas) y la construcción
geométrica (3 de 15) principalmente.
69
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
Figura 5
Grupo experimental/grupo control:
diferencia significativa absoluta pos-test/pre-test
En términos absolutos, la prueba pre-test mostró diferencia positiva
en la evaluación del grupo experimental frente al grupo control.
Sin embargo, en la prueba pos-test, dicha diferencia superó alta-
mente la primera evaluación del grupo experimental mostrando dife-
rencia significativa frente al grupo control.
70
Conclusiones
El desarrollo del trabajo ha permitido, respecto al objetivo de determi-
nar los referentes curriculares respecto del tema de aplicación de las
técnicas de papiroflexia a la enseñanza de la geometría, precisar los
siguientes:
La aplicación de este tipo de herramientas didácticas tiene un en-
foque práctico que consiste en una forma de investigación-acción
en la acción, a la manera de Stenhouse, con un papel activo del
docente en la enseñanza en el cual los procedimientos, conceptos y
criterios configuran una estructura curricular propia.
El rol del docente es autonómico y libre, en la propuesta de un pro-
pósito educativo que puede ser llevado a la práctica y, como lo ex-
presa Zabalza, representa una forma de planeamiento conectada a
los recursos del medio ambiente.
Dentro de una perspectiva de formación por ciclos, se aplica la pa-
piroflexia en concordancia con la impronta de “interacción social y
construcción de mundos posibles”, propia del grado 6.° y en acuer-
do con los lineamientos de la Secretaría de Educación Distrital.
Se acogen el doblado y el recorte de papel como apoyos a la función
heurística de las figuras de la geometría euclidiana, dentro de las li-
mitantes encontradas por Vasco, y a soluciones a problemas de una
geometría tridimensional. La técnica de papiroflexia contribuye a
llenar los vacíos didácticos que Vasco analizaba acerca del doblado
y el recorte de papel respecto al aprendizaje en la geometría al no
considerar soluciones de problemas a la geometría tridimensional
y no euclidiana.
71
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
• Se reitera el papel de mediador fundamental desarrollado por el do-
cente, en el plano cognitivo y en el de investigación y experimenta-
ción de alternativas curriculares diferentes, en acuerdo con Porlan.
• Se acoge la metodología del descubrimiento inicialmente observa-
da por Merino e incluída por Ausubel como un tipo de aprendizaje
que permite desarrollos curriculares específicos en el camino pe-
dagógico de un aprendizaje significativo.
En cuanto al objetivo de determinar también los recursos didácticos
aportados por las técnicas de papiroflexia a involucrar en la estrategia
pedagógica para la enseñanza de la geometría:
• Se aplica el modelo Van Hiele, sus aspectos descriptivo y prescrip-
tivo, específico para la enseñanza de la geometría. Descriptivo, en
sus niveles de visualización, análisis, deducción informal, deduc-
ción formal y rigor. Prescriptivo, en sus niveles de información,
orientación dirigida, explicitación, orientación libre e integración.
• Se reafirman los niveles crecientes de desarrollo mental en geome-
tría según el modelo Van Hiele en cuanto a la evolución del razona-
miento geométrico en los estudiantes desde identificación de las fi-
guras geométricas hasta el desarrollo de razonamientos deductivos.
Respecto al objetivo de aplicar experimentalmente las técnicas didác-
ticas de papiroflexia para la enseñanza del currículo vigente en el área
de geometría-métrica:
• Se estructuró un diseño de instrumento de prueba de conocimien-
tos mediando la identificación de las competencias alcanzadas en
términos de manipulación, asociación, construcción, identificación
de propiedades, relación y abstracción.
• Se diseñó e implemento una secuencia de talleres con sus corres-
pondientes objetivos, instrumentos a utilizar y batería de pregun-
tas de control.
72
Gina Bibian Moreno Henao
Finalmente, en cuanto al objetivo de evaluar la hipótesis de diferen-
cias significativas en grupos homogéneos como resultado de la aplica-
ción de técnicas didácticas de papiroflexia:
• Los resultados obtenidos confirman que el grupo experimental in-
crementó significativamente sus diferencias de evaluación frente
al grupo experimental. Esto significa que la incidencia de la inter-
vención en el proceso de enseñanza aprendizaje del componente
de geometría en el área de matemáticas ha sido resultado de la in-
clusión de actividades didácticas basadas en los talleres de papiro-
flexia previamente diseñados para obtener tal logro.
• De acuerdo con ello, la hipótesis se confirma en términos absolu-
tos, aunque los términos relativos, bajo prueba t de Student, no de-
muestran dichas diferencias significativas en la evaluación de cono-
cimientos en geometría-métrica entre grupos homogéneos y como
resultado de la aplicación de técnicas didácticas de papiroflexia.
Esto, sin embargo, demuestra que los dos grupos contrastados re-
presentan una muestra que, al no ser obtenida aleatoriamente, no
representa una distribución normal, lo cual es resultado mismo de
la intervención didáctica.
I. Alcances y limitaciones
Los alcances del estudio son los mismos del diseño de la prueba. Son
aplicables únicamente a grupos de estudiantes de grado 6.°, con la con-
dición de aplicación de los talleres previstos en esta investigación.
Las limitaciones del estudio están solo en el tamaño de muestra que
representan los dos grupos, de control y experimental, con 15 sujetos
cada uno.
Su aplicación solo está dirigida a poblaciones estudiantiles de estra-
to socioeconómico 1 y 2, bajo del concepto de escuelas críticas.
73
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
II. Aportes de la investigación
En resumen, en el aspecto pedagógico, la confirmación de la hipó-
tesis planteada representa la evidencia de un aprendizaje significa-
tivo al evaluar el pos-test y sus diferencias significativas frente a la
prueba pre-test, que reconoce los elementos previos de grado 5.°
al inquirir sobre ellos, y mejorando su percepción y comprensión
mediando el proceso de intervención aplicado.
Se agregan al doblado y el recorte de papel el ensamble de figuras
como soluciones a problemas de una geometría tridimensional no
euclidiana.
Se aplica el modelo Van Hiele, sus aspectos descriptivo y prescripti-
vo, específico para la enseñanza de la geometría.
Se estructura un instrumento de prueba de conocimientos median-
do la identificación de las competencias de manipulación, asocia-
ción, construcción, identificación de propiedades, relación y abs-
tracción.
Se diseña una secuencia de talleres de papiroflexia orientados a las
figuras fundamentales de la geometría, con sus correspondientes
objetivos, instrumentos a utilizar y preguntas de control.
Se proporciona una metodología de investigación y acción a través
de la cual se produce el diseño curricular basado en un proceso de
aprendizaje por descubrimiento, conducente, finalmente, al apren-
dizaje significativo de la geometría-métrica.
74
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75
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
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76
Anexos
I. Prueba enseñanza aprendizaje
a través de didáctica de papiroflexia
área de matemáticas de la geometría-métrica:
dirigida a alumnos del grado 6del iedip
Confidencial:
Este cuestionario se utilizará exclusivamente con fines estadísticos para investiga-
ción de carácter académico en el:
programa de postgrado
magíster en educación, mención currículo y comunidad educativa
Investigador responsable:
Gina Bibian Moreno Henao
Datos generales
Prueba: pre-test ______ pos-test _____
Nombre alumno ________________________________________________________
Edad ______ Género M _____ F _____
Grupo ____
Contesta las preguntas descritas a continuación (tienes un tiempo suficiente de dos
horas).
Por favor señala claramente tus respuestas con una X
77
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
1. Se coloca una figura frente a un espejo, como lo muestra el dibujo.
De las siguientes figuras la que representa la imagen que se observa en el espejo es:
2. Si se desdobla un cubo como el que se muestra, señala ¿cuál figura
se obtiene?
78
Gina Bibian Moreno Henao
3. ¿Cuál de las siguientes figuras tiene la misma forma y la misma área de la figura 1?
Observa la figura 1
Selecciona la respuesta que consideras correcta:
4. Se amplía la figura 1 (de la anterior pregunta) duplicando la medida de sus lados.
Señala ¿cuál de las siguientes figuras corresponde a la ampliación?
79
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
5. Observa detenidamente la siguiente figura:
Señala ¿cuál de los siguientes grupos de piezas utilizarías para armar la figura anterior?
6. Milena construyó un sólido haciendo dobleces por las líneas punteadas y pegando
las puntas marcadas con los números 1, 2 y 3, mostrados en el siguiente molde:
80
Gina Bibian Moreno Henao
Señala ¿cuál de las siguientes figuras muestra el sólido que construyó Milena?
7. Para elaborar una tarjeta de felicitación, Marta dobló una hoja de papel por la mitad,
como se indica a continuación:
La tarjeta tiene las medidas indicadas en la figura 2.
Señala ¿cuáles son las medidas de los lados de la hoja que Marta dobló?
A.
10 cm. y 6 cm.
B.
20 cm. y 24 cm.
C.
20 cm. y 6 cm.
D.
10 cm. y 12 cm.
8. Se quiere construir un cubo haciéndole dobleces a alguna de estas piezas:
81
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
Señala: ¿Cuál de las piezas debe seleccionar para construir el cubo?
A.
La pieza i
B.
La pieza ii
C.
La pieza iii
D.
La pieza iv
9. Observa los ángulos de las siguientes figuras:
Señala ¿cuál de las figuras tiene ángulos agudos?
A.
El triángulo equilátero
B.
El cuadrado
C.
El pentágono regular
D.
El heptágono regular
10. ¿Cuál de las figuras que se encuentran en la pregunta anterior tiene lados paralelos?
Señala:
A.
El triángulo equilátero
B.
El cuadrado
C.
El pentágono regular
D.
El heptágono regular
11. Mariana decoró una caja de regalo y pegó en todos sus bordes una cinta roja. La
caja tiene las medidas indicadas en la figura.
82
Gina Bibian Moreno Henao
¿Qué longitud de cinta necesitó Mariana para decorar la caja?
Señala:
A.
14 cm.
B.
136 cm.
C.
144 cm.
D.
152 cm.
12. Señala ¿Cuál de los siguientes triángulos tiene 12 centímetros de perímetro?
13. Observa los siguientes polígonos:
83
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
Señala de los siguientes pares de respuestas ¿cuáles de estos polígonos tienen más
de cuatro lados?
A.
i y iii
B.
i y iv
C.
ii y iv
D.
ii y iii
14. El perímetro del triángulo que se muestra a continuación es 20 centímetros.
De las siguientes ¿Cuál es la medida que debe escribirse en el
?
A.
5 cm.
B.
7 cm.
C.
13 cm.
D.
20 cm.
15. La figura 2 es la imagen de la figura 1 en el espejo.
Observa: ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones es o son verdadera(s)?
I.
Los perímetros de las dos figuras son iguales.
II.
Las áreas de las dos figuras son iguales.
III.
La imagen del punto A es el punto B.
84
Gina Bibian Moreno Henao
Selecciona la respuesta que crees correcta:
A.
i solamente.
B.
ii solamente.
C.
i y ii solamente.
D.
ii y iii solamente.
II. Talleres avanzados de aprendizaje
a través de didáctica de papiroflexia
Taller 3
Multirombo
Octaedro
Objetivo práctico: Realizar el ensamble de figuras sólidas (octaedro) a partir de un
módulo doble.
Objetivo didáctico 1: Identificar elementos básicos de un octaedro (tridimensional)
como vértices, caras y aristas.
Objetivo didáctico 2: Analizar los atributos (composición de terceras figuras) y pro-
piedades (perímetros, áreas y volumen) de las figuras resultantes.
Materiales: 12 hojas cuadradas de papel para plegado de 60 gramos, no tóxico, no
decolorante.
Preguntas de control:
¿Cuáles figuras se pueden identificar?
¿Cuáles son sus características?
¿Qué cambios particulares se han dado en las áreas de estas figuras?
¿Qué cambios particulares se han dado en los perímetros de estas figuras?
¿En el sólido resultante qué relaciones existen entre área y volumen?
Nota: Esta figura geométrica fue ideada por Lewis Simón. Nos da la sensación de que
está compuesta por rombos que se ven entrecruzados, de ahí su nombre. Esta figura
consta de seis módulos, cada uno compuesto por dos elementos, uno en forma de
rombo y otro en forma de triángulo.
85
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
1. Partimos de un cuadrado, el cual do-
2. La primer parte del módulo se dobla
blamos por las dos mitades y las dos
por una de las diagonales obteniendo un
diagonales.
triángulo.
3. Las dos partes externas del anterior
4. El segundo módulo lo conseguimos
triangulo las llevamos hacia su interior
doblando el papel por la mitad y llevan-
hasta obtener un rombo (módulo sencillo).
do las partes externas del mismo para
obtener un triángulo (módulo sencillo).
5. El triángulo se ensambla dentro del
6. De esta manera queda el modulo final
rombo para integrar un módulo doble.
86
Gina Bibian Moreno Henao
7.Se ensambla colocando en cada punta
8. Vista de la figura final, al interior de
de un módulo doble, los otros módulos
la cual se observa un sólido geométrico
dobles y cerrándolos entre si
identificable.
Dodecaedro
Objetivo práctico: Realizar el ensamble de figuras sólidas (dodecaedro) a partir de un
módulo doble.
Objetivo didáctico 1: Identificar elementos básicos de un dodecaedro (tridimensio-
nal) como vértices, caras y aristas.
Objetivo didáctico 2: Analizar los atributos (composición de terceras figuras) y pro-
piedades (perímetros, áreas y volumen) de las figuras resultantes.
Materiales: 24 hojas cuadradas de papel para plegado de 60 gramos, no tóxico, no
decolorante.
Preguntas de control:
¿Cuáles figuras se pueden identificar?
¿Cuáles son sus características?
¿Qué cambios particulares se han dado en las áreas de estas figuras?
¿Qué cambios particulares se han dado en los perímetros de estas figuras?
¿En el sólido resultante qué relaciones existen entre área y volumen?
87
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
1. Realizando el mismo proceso que en
2. Y luego formamos cuatro caras trian-
la figura anterior unimos los módulos de
gulares.
modo que formemos una cara cuadrada.
3. Al final la figura se ve de la siguiente
forma.
88
Gina Bibian Moreno Henao
Taller 4
Esfera con ventanas pentagonales
Esta figura volumétrica se elabora con 30 módulos
1. Tomamos un cuadrado, marcamos mi-
2. Doblamos el modulo en forma de M.
tad y desdoblamos. Luego llevamos los
lados hacia el centro.
3. Doblamos las esquinas contrarias for-
4. Finalmente completamos los triángu-
mando triángulos.
los con sus lados correspondientes.
89
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
5. Doblamos 30 módulos y ensambla-
6. Continuamos ensamblando hasta
mos de a tres en forma de pirámide.
construir caras pentagonales.
Taller 4
Poliedros regulares
(tetraedro, octaedro e icosaedro)
Objetivo práctico: Realizar el ensamble de figuras sólidas (octaedro) a partir de un
módulo doble.
Objetivo didáctico 1: Identificar elementos básicos de poliedros regulares (tridimen-
sionales) como vértices, caras y aristas.
Objetivo didáctico 2: Analizar los atributos (composición de terceras figuras) y pro-
piedades (perímetros, áreas y áreas frontales, volumen) de las figuras resultantes.
Materiales: 8 hojas cuadradas de papel para plegado de 60 gramos, no tóxico, no de-
colorante (1 para tetraedro, 2 para octaedro y 5 para icosaedro).
Preguntas de control:
¿Cuáles figuras se pueden identificar?
¿Cuáles son sus características?
¿Qué cambios particulares se han dado en las áreas de estas figuras?
¿Qué cambios particulares se han dado en los perímetros de estas figuras?
¿En el sólido resultante qué relaciones existen entre área y volumen?
90
Gina Bibian Moreno Henao
1. Partimos un cuadrado en dos partes
2. Doblamos cada uno de los rectángulos
iguales.
por la mitad.
3. Llevamos cada uno de los lados a la
4. Tomamos los vértices y los llevamos a
mitad.
la línea que se formó con el anterior do-
blez, este paso se debe realizar al tiempo
con ambos papeles ya que los dobleces
son opuestos en los papeles.
4. Llevamos los triángulos que se forma-
5. Los sobrantes de las esquinas se do-
ron a la mitad de la hoja.
blan hasta conseguir triángulos.
91
Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
6. Nuevamente se doblan los módulos
7. Luego de ensamblan dos modulos
hasta obtener triangulos equilateros.
para obtener un tetraedro.
8. Con cuatro modulos armamos un oc-
9. Con diez modulos formamos un ico-
taedro.
saedro.
92
Gina Bibian Moreno Henao
Taller 5
Dodecaedro con modulo triangular
Objetivo práctico: Realizar el ensamble de figuras sólidas (dodecaedro) a partir de un
módulo doble.
Objetivo didáctico 1: Identificar elementos básicos de un dodecaedro (tridimensio-
nal) como vértices, caras y aristas.
Objetivo didáctico 2: Analizar los atributos (composición de terceras figuras) y pro-
piedades (perímetros, áreas y volumen) de las figuras resultantes.
Materiales: 40 hojas cuadradas de papel para plegado de 60 gramos, no tóxico, no
decolorante.
Preguntas de control:
¿Cuáles figuras se pueden identificar?
¿Cuáles son sus características?
¿Qué cambios particulares se han dado en las áreas de estas figuras?
¿Qué cambios particulares se han dado en los perímetros de estas figuras?
¿En el sólido resultante qué relaciones existen entre área y volumen?
Nota: Este módulo doble se creó por la necesidad de la aparición de caras pentagona-
les y que en cada vértice concurrieran tres aristas (es atribuido a Bennett Arnstein).
1. En un papel cuadrado realizamos un
2. Cortamos el triangulo.
triángulo equilátero.
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Las técnicas de papiroflexia como herramientas didácticas...
3. Doblamos cada una de las mediatrices
4. Colocamos un triángulo sobre el otro
del triángulo, proceso que se realiza con
con las puntas en medio de sus lados de
dos triángulos iguales simultáneamente
tal manera que las mediatrices de am-
ya que es un módulo doble.
bos triángulos se crucen entre si.
5. Doblamos las esquinas.
6. El modulo se dobla de tal manera que
se vean claramente tres vértices.
7. Ensamblamos 5 modulos dobles con
8. La figura queda de la siguiente manera.
el fin de obtener caras pentagonales.
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Editado por el Instituto Latinoamericano de Altos Estudios -ilae-,
en septiembre de 2015
Se compuso en caracteres Cambria de 12 y 9 ptos.
Bogotá, Colombia